ケィオスの時系列解析メモランダム

時系列解析,生体情報学,数学・物理などの解説です.

数学

【フーリエ変換】フーリエ級数からフーリエ変換へ

今回はフーリエ変換の話です.ここでは横軸をではなく,にします.理由は,時間とともに変化する信号を考えたいからです. 複素フーリエ級数 フーリエ変換 複素フーリエ級数 周期の周期関数 のフーリエ級数展開は, です.ここで,係数のは, で与えられます…

【フーリエ級数】周期関数をsinとcosの和で表す

我が家にも,ついに5G (第5世代移動通信システム)の波が来ました.我が家は「おうちWi-Fi SoftBank Air」を使っています.今週,この端末のランプが「5G」の受信を教えてくれました.ということで,原稿を依頼されている「フーリエ解析」の図の準備をかねて…

【基礎工学のための数学】線形性と特性方程式と重ね合わせ:線形微分方程式と線形差分方程式の解

時系列解析の応用的な論文で「非線形性」という用語が使われることがあります.非線形というのは,線形でないという意味です.医学・生理学,医工学分野などの応用分野では,「非線形性」が印象だけで使われていて,意味が崩壊しているような感じがします.…

【基礎工学のための複素関数論】留数定理

今回は留数定理です.留数定理を知っておいてほしい理由は,自己回帰過程の分解の計算に使うからです.留数定理では,下図のように周回積分する単一閉曲線の内側に,特異点と呼ばれるトゲや穴,,が複数ある場合を扱えます. 複素平面にある特異点のイメージ…

【基礎工学のための複素関数論】複素積分で覚えておきたいポイント

複素積分について勉強したでしょうか.私は数学者ではありませんが,昔,ある大学で,線形代数とか,複素関数論とか,数学の基礎科目の講義を一通り担当していました.毎週6~7コマ担当なので,結構疲れて,肩が痛かったです.その当時は,お前の仕事は講義…

【確率過程・時系列解析】自己回帰過程のパワースペクトルと自己共分散(自己相関)の関係(複素積分表示)

今回は,自己回帰過程について,パワースペクトルの複素積分で,対応する自己共分散(自己相関)を表します.これは,「次自己回帰過程のパワースペクトルは,1次自己回帰過程と2次自己回帰過程のパワースペクトルの和になっている」あるいは,「次自己回帰…

【確率過程・時系列解析】自己共分散(自己相関)とパワースペクトルの関係

自己共分散(自己相関)とパワースペクトルの関係についての話です.何言っているかわからない人は,下にまとめた関連記事を先に見てみてください.ちょっと前に,パワースペクトルは,自己共分散(自己相関)のフーリエ変換だ,という話をしました.という…

【確率統計】確率変数の和の期待値と分散,積の期待値

ここでは,公式として,2つの確率変数との和,積,分散の性質をまとめおきます.証明は,たくさんの方が与えてくれているのでそれを参照してください.以下の関係は,今後,ランダムウォークの軌道の性質を議論するために使います. 期待値の表現 数学系の…

【時系列解析】ラグオペレータ (lag operator),後退オペレータ (backshift operator)の登場

自己回帰過程や移動平均過程を表現する際に便利な,ラグオペレータ (lag operator),あるいは,後退オペレータ (backshift operator)と呼ばれるものを紹介します.どちらも名前が違うだけで同じものです.ラグオペレータは,後退オペレータはとすることが多…

【時系列解析】時系列の書き方などの慣例

時系列を表すときに,とか,とか,とか,]とか,いろいろな書き方があります.今回は,この書き方の慣例について説明します.絶対のルールがあるわけではありません. 連続時間は ,整数の離散時間は下付 か まずは,連続時間と離散時間の使い分けです.時系…