マクローリン展開について簡単に説明します．1年くらいぶりの，ひさびさの更新です．古い記事を，毎日，何百人も参考にしてくれているようで，嬉しい気持ちがあるので，リクエストにこたえて記事を書きます (わかりやすいか自信がありませんが)． マクローリ…

単位ステップ関数の微分について考えてみます．公式的に、 が成り立ちます．ここで， は，単位インパルス関数です．今回は，何でこうなるの？というのを直感的に考えていきます．今回は，どちらかといえば，線形システムの応答を考えるためのお話です． 単位…

前の記事（以下のリンク）に続き，デルタ関数，あるいは，単位インパルス関数と呼ばれるを使った線形システムのインパルス応答を考えてみます． chaos-kiyono.hatenablog.com 今回は，を，以下で定義する について としたもので定義します． の定義．簡単な…

ディラック (Dirac)のデルタ関数や，単位インパルス関数（単に，インパルス関数と呼ぶことも）は，分野によって立っている位置が違うので，一つの定義にこだわっていると，計算結果に納得できないことがあります．「デルタ関数と単位インパルス関数は同じモ…

今回はフーリエ変換の話です．ここでは横軸をではなく，にします．理由は，時間とともに変化する信号を考えたいからです． 複素フーリエ級数 フーリエ変換 複素フーリエ級数 周期の周期関数 のフーリエ級数展開は， です．ここで，係数のは， で与えられます…

我が家にも，ついに5G (第5世代移動通信システム)の波が来ました．我が家は「おうちWi-Fi SoftBank Air」を使っています．今週，この端末のランプが「5G」の受信を教えてくれました．ということで，原稿を依頼されている「フーリエ解析」の図の準備をかねて…

時系列解析の応用的な論文で「非線形性」という用語が使われることがあります．非線形というのは，線形でないという意味です．医学・生理学，医工学分野などの応用分野では，「非線形性」が印象だけで使われていて，意味が崩壊しているような感じがします．…

今回は留数定理です．留数定理を知っておいてほしい理由は，自己回帰過程の分解の計算に使うからです．留数定理では，下図のように周回積分する単一閉曲線の内側に，特異点と呼ばれるトゲや穴，，が複数ある場合を扱えます． 複素平面にある特異点のイメージ…

複素積分について勉強したでしょうか．私は数学者ではありませんが，昔，ある大学で，線形代数とか，複素関数論とか，数学の基礎科目の講義を一通り担当していました．毎週6～7コマ担当なので，結構疲れて，肩が痛かったです．その当時は，お前の仕事は講義…

今回は，自己回帰過程について，パワースペクトルの複素積分で，対応する自己共分散（自己相関）を表します．これは，「次自己回帰過程のパワースペクトルは，1次自己回帰過程と2次自己回帰過程のパワースペクトルの和になっている」あるいは，「次自己回帰…

自己共分散（自己相関）とパワースペクトルの関係についての話です．何言っているかわからない人は，下にまとめた関連記事を先に見てみてください．ちょっと前に，パワースペクトルは，自己共分散（自己相関）のフーリエ変換だ，という話をしました．という…

ここでは，公式として，２つの確率変数との和，積，分散の性質をまとめおきます．証明は，たくさんの方が与えてくれているのでそれを参照してください．以下の関係は，今後，ランダムウォークの軌道の性質を議論するために使います． 期待値の表現 数学系の…

自己回帰過程や移動平均過程を表現する際に便利な，ラグオペレータ (lag operator)，あるいは，後退オペレータ (backshift operator)と呼ばれるものを紹介します．どちらも名前が違うだけで同じものです．ラグオペレータは，後退オペレータはとすることが多…

時系列を表すときに，とか，とか，とか，]とか，いろいろな書き方があります．今回は，この書き方の慣例について説明します．絶対のルールがあるわけではありません． 連続時間は ，整数の離散時間は下付 か まずは，連続時間と離散時間の使い分けです．時系…