今回は，中点変位法 (midpoint displacement algorithm)で，1/fノイズ (ピンクノイズ)のサンプル時系列を生成します．元々，中点変位法は，非整数ブラウン運動のサンプルパス (サンプル時系列)を作る方法ですが，非整数ブラウン運動をわずかにはみ出た領域を…

１次元の非整数ブラウン運動 (fractional Brownian motion)のサンプルパス (時系列)の生成方法の一つ「中点変位法」(midpoint displacement algorithm)について説明します． 中点変位法で作成した非整数ブラウン運動のサンプルパス (H=0.8)この話は，「フラ…

前に，階積分 (和分)過程のパワースペクトルの記事を書いたときに導いた結果，分散の白色ノイズの階差分過程の時系列のパワースペクトルは， 階積分 (和分)過程の時系列のパワースペクトルは， について，数値実験で確認していなかったので，やっておきます…

今回はパワースペクトルが，を定数として， の形になる，差分方程式で記述される確率過程を考えます．前の記事 chaos-kiyono.hatenablog.com で，m階積分 (和分)過程のパワースペクトル（もどき）を計算しました．つまり， 分散の白色ノイズの階積分 (和分)…

今回は，Autoregressive fractionally integrated moving average process (ARFIMA)への導入の手前です．ARFIMAの日本語訳は，私が訳せば「自己回帰非整数積分移動平均過程」，インターネット検索でよく見る訳は「自己回帰実数和分移動平均過程」です．MA (m…

最近，「ピリオドグラム」(periodogram)とか「ピリオドグラム法」って何を意味するのかわからなくなりました．きっかけは，セミナーで使っている北川源四郎先生の時系列解析の本です．人のせいにしてすいません． 私は，periodogramを，ずーっと（２０年ほど…

パワースペクトルを推定する数値実験を，少しずつやっていきたいと思います． 平均化処理ってやったほうがいいかも，というのが今回の感想です． Rでパワースペクトルを推定するとき，"spectrum"というコマンドを使えばいいんでしょ，と考えている人も多いと…

2次自己回帰過程の自己共分散 (自己相関)関数を一つの式で表しておきます．差分方程式の形での表現は，この前のセミナーで学生が導いてくれたし，インターネットで検索すればいくらでも出てくると思います． 2次自己回帰過程の自己共分散とパラメタの関係 2…

理由は良く知りませんが，自己共分散（自己相関）関数を使ってパワースペクトルを定義する流儀が存在します．そんな流儀，知ったことではないので，ここでは，1次自己回帰過程のパワースペクトルから，自己共分散（自己相関）を求めてみます．今回は，ここま…

今回は，自己回帰過程について，パワースペクトルの複素積分で，対応する自己共分散（自己相関）を表します．これは，「次自己回帰過程のパワースペクトルは，1次自己回帰過程と2次自己回帰過程のパワースペクトルの和になっている」あるいは，「次自己回帰…

自己共分散（自己相関）とパワースペクトルの関係についての話です．何言っているかわからない人は，下にまとめた関連記事を先に見てみてください．ちょっと前に，パワースペクトルは，自己共分散（自己相関）のフーリエ変換だ，という話をしました．という…

北川 源四郎先生の本「Rによる 時系列モデリング入門」(33 ページ)では， 「ラグが大きくなるとき自己共分散関数が急激に減衰し」という条件が，パワースペクトル の定義を与える部分に書いてあります (以下では，をと書きます)．何で？ この条件「自己共分…

時系列の長期記憶 (long memory)，長時間相関 (long-range correlation)，フラクタル性 (fractality)について整理しておきます． 長期記憶過程 (long memory process) 長期記憶過程は自己共分散関数が， となる確率過程です．何で全部足すの？という疑問がわ…

前回は，自己回帰過程の特性方程式の話をしました． chaos-kiyono.hatenablog.com つまり，次自己回帰過程 について，特性方程式 の解 (根)の絶対値がすべて1より大きければ，自己回帰過程は発散しない． ということを説明しました．今回は，Rをつかって実際…

今回は，自己回帰過程の特性方程式の解と定常性の話です．特性方程式の解が，単位円の内側とか外側とかいう話の説明をします．次自己回帰過程 (以下のは，平均0，分散の白色ノイズです) をラグオペレータを使って書けば， と書けます．これは，以前にパワー…

心拍変動解析では，パワースペクトルの推定を使った心拍変動指標がよく使われます．HFパワーとか，LFパワーとか呼ばれるやつです．今回は，これら指標について説明しません．心拍変動指標を計算する前に，絶対に理解しておかなければならないことがあるから…

今回は，一般に次自己回帰過程 のパラメタと，の分散 (平均は０とします)がわかったときに，そのパワースペクトルを導きます．というか，パワースペクトルをとりあえず式で書きます． 今回は，パワースペクトルのパラメトリック推定を理解するための準備にな…

今回は実際の時系列データを読み込んでグラフを描いでみます． 濃厚接触者として自宅待機中（現在）の私の心拍変動 (RRI間隔)時系列をサンプルとして使ってください．以下のリンクからダウンロードできます． https://drive.google.com/file/d/1i0VIooI1-IKA…

「ランダムウォーク解析」の話の続きです．前回の記事は，これです． chaos-kiyono.hatenablog.com ランダムウォーク解析では，(1) 観測時系列の平均を０にして，(2) 積分して，(3) その増分の2乗平均の平方根をいろんなスケールで計算して，(4) 対のプロッ…

今回も，ランダムウォーク解析についてです．ランダムウォーク解析 (fluctuation analysisと呼ばれることも)は，Natureに出版された論文でも使われています (以下のリンク)． www.nature.com とはいえ，ランダムウォーク解析は，今では実用的な時系列解析法…

ランダムウォーク解析について前回に引き続き考えていきます．今回は自己相関（自己共分散）関数との関係です．前回の記事は以下です．chaos-kiyono.hatenablog.com ゆらぎ関数と自己相関（自己共分散）関数との関係 ここでは．平均0，分散の弱定常過程の時…

ランダムウォーク解析のつづきです．今回は，この解析法について解析的に考えてみます．chaos-kiyono.hatenablog.com 白色ノイズのランダムウォーク解析 白色ノイズを分析すると 白色ノイズは，無相関な時系列です．平均0，分散の白色ノイズの時系列をランダ…

今回は，ランダムウォーク解析の導入です．detrended fluctuation analysis (DFA)とか，detrending moving average analysis (DMA)とかを使ってる研究者の方が，そこそこいると思います．ランダムウォーク解析は，DFA，DMAの原型となる，素朴な方法です．ラ…

時系列のフラクタル解析に分類されるdetrended fluctuation analysis (DFA)とか，detrending moving average analysis (DMA)で何をやっているのかを理解するためには，無相関な時系列を積分すると，その積分時系列がどのような特性を持つようになるのかを理…

講義用の参考資料です．今回は，ランダムウォークのサンプルパスを描きます．簡単化のためにx軸上の動きのみを考えます． ランダムウォークのサンプルパス (p = 0.5, q=0.5) ランダムウォークは，ブラウン運動の確率モデルです．物理学におけるブラウン運動…

自己回帰過程や移動平均過程を表現する際に便利な，ラグオペレータ (lag operator)，あるいは，後退オペレータ (backshift operator)と呼ばれるものを紹介します．どちらも名前が違うだけで同じものです．ラグオペレータは，後退オペレータはとすることが多…

時系列を表すときに，とか，とか，とか，]とか，いろいろな書き方があります．今回は，この書き方の慣例について説明します．絶対のルールがあるわけではありません． 連続時間は ，整数の離散時間は下付 か まずは，連続時間と離散時間の使い分けです．時系…

今回から，本格的に２次自己回帰過程のパワースペクトルに入ります．自己回帰過程の理解において，最も重要なポイントの一つは「n次自己回帰過程のパワースペクトルは，1次自己回帰過程と2次自己回帰過程のパワースペクトルの和になっている」ということです…

自己回帰過程のパワースペクトルを求めるテクニックの説明です．自己回帰過程の係数が与えられた状況から，パワースペクトルの式を導くことはとても簡単です．でも，大切なことは理屈を感じることです． 必要な基本知識 長さNの時系列のフーリエ変換とその逆…

弱定常が仮定できる場合のパワースペクトルの定義について，まとめておきます．これまでの私の記事では，時系列のフーリエ変換から計算するものと，時系列の自己共分散関数（自己相関関数）から計算するものを，私のかってな都合にあわせて使い分けていまし…