Rとか，Pythonとかを使って，誰でも簡単に高速フーリエ変換 (fast Fourier transform, FFT)を使える時代になりました．最近コロナで，人と会わなくなって，久しぶりに遠隔会議であった方々が老けたなーと感じることが多くなりました．同様に私も年寄りになっ…

パワースペクトルを推定する数値実験を，少しずつやっていきたいと思います． 平均化処理ってやったほうがいいかも，というのが今回の感想です． Rでパワースペクトルを推定するとき，"spectrum"というコマンドを使えばいいんでしょ，と考えている人も多いと…

本日のセミナーの課題を，私なりこなしました．パワースペクトルを推定するときは，時系列をまるごと1本としてパワースペクトルを計算するよりも，時系列を部分区間に分割して，複数のパワースペクトルの平均をとった方が，パワースペクトル推定のばらつきが…

時系列解析の応用的な論文で「非線形性」という用語が使われることがあります．非線形というのは，線形でないという意味です．医学・生理学，医工学分野などの応用分野では，「非線形性」が印象だけで使われていて，意味が崩壊しているような感じがします．…

2次自己回帰過程の自己共分散 (自己相関)関数を一つの式で表しておきます．差分方程式の形での表現は，この前のセミナーで学生が導いてくれたし，インターネットで検索すればいくらでも出てくると思います． 2次自己回帰過程の自己共分散とパラメタの関係 2…

理由は良く知りませんが，自己共分散（自己相関）関数を使ってパワースペクトルを定義する流儀が存在します．そんな流儀，知ったことではないので，ここでは，1次自己回帰過程のパワースペクトルから，自己共分散（自己相関）を求めてみます．今回は，ここま…

今回は留数定理です．留数定理を知っておいてほしい理由は，自己回帰過程の分解の計算に使うからです．留数定理では，下図のように周回積分する単一閉曲線の内側に，特異点と呼ばれるトゲや穴，，が複数ある場合を扱えます． 複素平面にある特異点のイメージ…

複素積分について勉強したでしょうか．私は数学者ではありませんが，昔，ある大学で，線形代数とか，複素関数論とか，数学の基礎科目の講義を一通り担当していました．毎週6～7コマ担当なので，結構疲れて，肩が痛かったです．その当時は，お前の仕事は講義…

今回は，自己回帰過程について，パワースペクトルの複素積分で，対応する自己共分散（自己相関）を表します．これは，「次自己回帰過程のパワースペクトルは，1次自己回帰過程と2次自己回帰過程のパワースペクトルの和になっている」あるいは，「次自己回帰…

自己共分散（自己相関）とパワースペクトルの関係についての話です．何言っているかわからない人は，下にまとめた関連記事を先に見てみてください．ちょっと前に，パワースペクトルは，自己共分散（自己相関）のフーリエ変換だ，という話をしました．という…

北川 源四郎先生の本「Rによる 時系列モデリング入門」(33 ページ)では， 「ラグが大きくなるとき自己共分散関数が急激に減衰し」という条件が，パワースペクトル の定義を与える部分に書いてあります (以下では，をと書きます)．何で？ この条件「自己共分…

前回は，自己回帰過程の特性方程式の話をしました． chaos-kiyono.hatenablog.com つまり，次自己回帰過程 について，特性方程式 の解 (根)の絶対値がすべて1より大きければ，自己回帰過程は発散しない． ということを説明しました．今回は，Rをつかって実際…

今回は，自己回帰過程の特性方程式の解と定常性の話です．特性方程式の解が，単位円の内側とか外側とかいう話の説明をします．次自己回帰過程 (以下のは，平均0，分散の白色ノイズです) をラグオペレータを使って書けば， と書けます．これは，以前にパワー…

今回は，一般に次自己回帰過程 のパラメタと，の分散 (平均は０とします)がわかったときに，そのパワースペクトルを導きます．というか，パワースペクトルをとりあえず式で書きます． 今回は，パワースペクトルのパラメトリック推定を理解するための準備にな…

ここでは，公式として，２つの確率変数との和，積，分散の性質をまとめおきます．証明は，たくさんの方が与えてくれているのでそれを参照してください．以下の関係は，今後，ランダムウォークの軌道の性質を議論するために使います． 期待値の表現 数学系の…