【時系列解析】ラグオペレータ (lag operator)，後退オペレータ (backshift operator)の登場

　自己回帰過程や移動平均過程を表現する際に便利な，ラグオペレータ (lag operator)，あるいは，後退オペレータ (backshift operator)と呼ばれるものを紹介します．どちらも名前が違うだけで同じものです．ラグオペレータは $L$ ，後退オペレータは $B$ とすることが多いです．ここでは， $L$ を使うことにします．

ラグオペレータ $L$ のルール

　ラグオペレータ $L$ のルールは単純です． $L$ は時系列に対して使うので，時系列を $\{x[i]\}$ とします．

$L$ と $x[i]$ がかけ算でくっつくと，時間が１だけ戻る．つまり，

$L x[i] = x[i-1$ ]

$L^j$ ( $L$ の $j$ 乗)と $x[i]$ がかけ算でくっつくと，時間が $j$ だけ戻る．つまり，

　 $L^{j} x[i] = x[i-j$ ]

$L^{-1}$ と $x[i]$ がかけ算でくっつくと，時間が $1$ だけ進む．つまり，

　 $L^{-1} x[i] = x[i+1$ ]

$L^{-j}$ と $x[i]$ がかけ算でくっつくと，時間が $j$ だけ進む．つまり，

　 $L^{-j} x[i] = x[i+j$ ]

$L$ は，変数だと思って計算して構わない．例えば，

　 $(1+L)^2 = 1+2L+L^2$

自己回帰過程を $L$ を使って考えてみる

　一般形を書くのは面倒なので，私が大好きな1次自己回帰過程を考えます．

　 $x[i] = a x[i-1] + w [i]$ 　（ $w [i]$ は白色ノイズです）

$L$ を使うと，

　 $x[i] = a L x[i] + w [i]$

です．簡単です．

　これでは特に $L$ の便利さを感じないと思いますので，ここでは， $L$ の素晴らしさを２つ紹介します．

$L$ を変数のように扱う

　上の式を変形します． $L$ を文字式同様に扱うと以下のようになります．

　 $\begin{eqnarray} x[i] &=& a L x[i] + w [i] \\ x[i] - a L x[i] &=& w [i] \\ \left(1- a L \right) x[i] &=& w [i] \\ x[i] &=& \frac{1}{1- a L}w [i] \\ \end{eqnarray}$

右辺は分数になって，最初に説明したルールでは解釈不能です．しかし，マクローリン展開の式

　 $\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+ \cdots$

をまねてやると (収束半径なんて気にしません)，

　 $\displaystyle \frac{1}{1- a L}=1+a L + a^2 L^2+a^3 L^3 + \cdots$

となります．ということで，これを上の計算に使えば，

　 $\begin{eqnarray} x[i] &=& \frac{1}{1- a L}w [i] \\ &=& \left( 1+a L + a^2 L^2+a^3 L^3 + \cdots \right) w [i] \\ &=& w [i] +a L w [i] + a^2 L^2 w [i]+a^3 L^3 w [i] + \cdots \\ &=& w [i] +a w [i-1] + a^2 w [i-2]+a^3 w [i-3] + \cdots \\ &=& \sum_{j=0}^{\infty} a^j w [i-j] \end{eqnarray}$

となり，解釈可能な形になります．この記事では，移動平均過程を紹介していませんでしたが，自己回帰過程は，無限次の移動平均過程であることが分かります． $L$ を使わなくても，

　 $\begin{eqnarray} x[i] &=& a x[i-1] + w [i] \\ &=& a \left(a x[i-2] + w [i-1] \right) + w [i] \\ &=& a^2 \left(a x[i-3] + w [i-2] \right) + a w [i-1] + w [i] \\ \end{eqnarray}$