【時系列解析】ランダムウォーク解析の解析的考察（その２：自己相関関数との関係）

ランダムウォーク解析について前回に引き続き考えていきます．今回は自己相関（自己共分散）関数との関係です．前回の記事は以下です．

chaos-kiyono.hatenablog.com

ゆらぎ関数と自己相関（自己共分散）関数との関係

　ここでは．平均0，分散 $\sigma^2$ の弱定常過程の時系列 $\left\{x[i] \right\}$ を考えます．自己相関（自己共分散）関数は，

　 $C(k) = \left\langle x[i] x[i+k] \right\rangle$

です．折れたかっこ（ブラケット）は，期待値を表します．

　前回の記事に書いた，2乗平均の期待値 (ゆらぎ関数: fluctuation function)

　 $\begin{equation} F^2(s) = \left\langle \Delta_{s} y^2[i] \right\rangle \end{equation}$

の計算結果を見直して，書き直すと，

　 $\begin{eqnarray} F^2(s) &=& \left\langle \Delta_{s} y^2[i] \right\rangle = \displaystyle \left\langle \left(\sum_{j=1}^{s} x[i+j]\right)^2 \right\rangle \\ &=& s \left\langle x[i]^2 \right\rangle + 2 \sum_{k=1}^{s-1} (s-k) \left\langle x[i]x[i+k] \right\rangle \\ &=& \sum_{k=-(s-1)}^{s-1} (s-|k|) \left\langle x[i]x[i+k] \right\rangle \\ &=& \sum_{k=-(s-1)}^{s-1} (s-|k|) C(k) \\ \end{eqnarray}$

が成り立つことがわかります．公式的に示しておくと，こうなってます．

　 $\displaystyle F^2(s) = \sum_{k=-(s-1)}^{s-1} (s-|k|) C(k)$

長期記憶過程を解析すると

　長期記憶過程の時系列をランダムウォーク解析するとどうなるでしょうか．長期記憶過程では，自己相関関数が，

　 $C(k) \propto |k|^{-\gamma} \quad (0 < \gamma < 1)$

となります．これは， $0.5 < H < 1$ の非整数ガウスノイズに対応します．

　上の関係式を使うと，

　 $\begin{eqnarray} \displaystyle F^2(s) &=& \sum_{k=-(s-1)}^{s-1} (s-|k|) C(k) \\ &\propto& \sum_{k=-(s-1)}^{s-1} (s-|k|) |k|^{-\gamma} \\ &=& s \sum_{k=-(s-1)}^{s-1} |k|^{-\gamma} - \sum_{k=-(s-1)}^{s-1} |k|^{-\gamma+1} \\ &\propto& 2 s \sum_{k=1}^{s-1} k^{-\gamma} - 2 \sum_{k=1}^{s-1} k^{-\gamma+1} \\ &\approx& 2 s \int_1^{s} k^{-\gamma}\, dk - 2 \int_1^{s} k^{-\gamma+1}\, dk \\ &=& 2 \left(\frac{s^{2-\gamma}}{(1-\gamma)(2-\gamma)} -\frac{s}{1-\gamma} + \frac{1}{2-\gamma}\right) \end{eqnarray}$

と評価できます ( $\propto$ は比例する部分のみ残した， $\approx$ は近似を表します)． $s$ が大きくなると，第1項が支配的になるので，

　 $\begin{eqnarray} F^2(s) &\propto& s^{2-\gamma} \\ F(s) &\propto& \sqrt{s^{2-\gamma}} \\ F(s) &\propto& s^{(2-\gamma)/2} \end{eqnarray}$

となります． $\displaystyle F(s) \propto s^{\alpha}$ と比較して，以下の関係が成り立つことがわかります．

　 $\displaystyle \alpha = \frac{2-\gamma}{2} \quad (0 < \gamma < 1)$

伝統的な時系列解析は，弱定常中心主義，自己相関中心主義なので，「相関」が重んじられるような印象があります．しかし，上の式の $\gamma$ の値の範囲 ( $0 < \gamma < 1$ )は狭すぎです． $\alpha$ で言えば， $0.5 < \alpha < 1$ の範囲です．そのため，今回の議論では， $\alpha$ について，限られた知識しか教えてくれません．