ケィオスの時系列解析メモランダム

時系列解析,生体情報学,数学・物理などの解説です.

【時系列解析】ランダムウォーク解析の解析的考察(その4:スケーリング指数の関係)

ランダムウォーク解析」の話の続きです.前回の記事は,これです.
chaos-kiyono.hatenablog.com

 ランダムウォーク解析では,(1) 観測時系列の平均を0にして,(2) 積分して,(3) その増分の2乗平均の平方根F(s)をいろんなスケールsで計算して,(4) \log s\log F(s)のプロットの傾きをスケーリング指数 \alphaとして求める,のでした.ここでは,

  F(s) \propto s^{\alpha}

の関係がみられる場合を考えています.

 これまで説明してなかったかもしれませんが,「スケーリング」とはべき関数(aを定数としてx^aの形)で表される関係のことで,「スケーリング指数」とはべき指数(x^aのときはa)のことです.

  F(s) \propto s^{\alpha}の関係がみられる代表的なケースに,以下の「長期記憶」,「長時間相関」,「フラクタル性 (自己アフィン性)」があります.

時系列の長期記憶,長時間相関,フラクタル

長期記憶過程では,自己共分散関数C(k)が,

 C(k) \propto |k|^{-\gamma} \quad (0 < \gamma < 1)

となり,パワースペクトルS(f)が,

 S(f) \propto |f|^{-\beta} \quad (0 < \beta < 1)

となります.スケーリング指数\alpha\betaの間に

 \gamma+\beta=1

の関係が成り立ちます.

長時間相関過程は長期記憶過程を含みますが,長期記憶過程に対応する正の長時間相関だけでなく,負の長時間相関もあります.長時間相関過程では,パワースペクトルS(f)が,

 S(f) \propto |f|^{-\beta} \quad (-1 < \beta < 1)

となります.負の長時間相関では,自己共分散関数C(k)が負の値もとるので,絶対値をとると,

 |C(k)| \propto |k|^{-\gamma} \quad (1 < \gamma < 2)

となってます.\beta=0と,\beta=1の場合を除いて,\gamma+\beta=1は成り立ってます.

フラクタル過程 (自己アフィン性をもつ時系列)では,パワースペクトルS(f)が,

 S(f) \propto |f|^{-\beta} \quad (1 < \beta < 3)

となります.非定常なので,自己共分散は,C(k)のように,ラグkの関数として書くことはできません.

 ここまでに,3つのスケーリング指数,\alpha\beta\gammaが登場しました.今回は,ランダムウォーク解析で,\alpha\beta,あるいは,\alpha\gammaの関係を解析的に導きます.

基本事項の確認

1. F(s)との関係式
 これまでの記事で,以下の関係を導きました.今回は,これらの関係式を使って計算していきます.

自己共分散関数C(k)ランダムウォーク解析のゆらぎ関数F(s)の関係
 

 \displaystyle 
 F^2(s) =  \sum_{k=-(s-1)}^{s-1} (s-|k|) C(k)

パワースペクトルS(f_k)ランダムウォーク解析のゆらぎ関数F(s)の関係 (f_k=k/Nです)

\begin{equation}
 \displaystyle F^2(s) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \frac{\sin^2(\pi f_k s)}{\sin^2(\pi f_k)} S(f_k)
 \end{equation}

2. 和を積分で近似
 区分求積法で,幅を無限小にしない場合,和と積分は等しくないけれど,近似になってます.つまり,

\displaystyle 
\sum_{k=k_1}^{k_2} f(x[k]) \Delta x[k] \approx \int_{x[k_1]}^{x[k_2]} f(x) \, dx

3.  \sin x \approx x
 よく使う近似式です.マクローリン展開で,1次の項まで残してます.

\alpha\betaの関係

 基本事項1にある

  \begin{equation}
 \displaystyle F^2(s) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \frac{\sin^2(\pi f_k s)}{\sin^2(\pi f_k)} S(f_k)
 \end{equation}

において, \Delta f_k = f_{k+1}-f_{k}=1/Nなので,

  \begin{eqnarray}
 \displaystyle F^2(s) &=& \sum_{k=0}^{N-1} \frac{\sin^2(\pi f_k s)}{\sin^2(\pi f_k)} S(f_k) \Delta f_k \\
 \end{eqnarray}

と書けて,N \to \inftyで,

  \begin{eqnarray}
 \displaystyle F^2(s) &=& \int_{0}^{1} \frac{\sin^2(\pi f s)}{\sin^2(\pi f)} S(f) df \\
&=& \int_{-1/2}^{1/2} \frac{\sin^2(\pi f s)}{\sin^2(\pi f)} S(f) df
 \end{eqnarray}

となります.積分区間は,ナイキスト周波数を意識して変更しました.

 上の積分S(f) \propto f^{-\beta}を代入して計算できればいいですが,私にはできないので,\frac{\sin^2(\pi f s)}{\sin^2(\pi f)}を近似することで,無理やり計算します.

 fが,ものすごく小さいときは,上の基本事項3を使って,

 \displaystyle \frac{\sin^2(\pi f s)}{\sin^2(\pi f)}=\frac{(\pi f s)^2}{(\pi f)^2} = s^2

とできそうです.

 fが,1/2に近づいてくると,s \gg 1 (sがでかい)が影響してきて,分子の\pi f sが小さい値とは言えなくなります.ですので,\sin x \approx xは使えません.別の方法で近似する必要があります.
 
 \sin^2(\pi f s)は,sが大きい値のとき,fが変わると激しく振動します.それと, \sin^2(\pi f s)は,最小値0,最大値1で振動するだけです.ということで,分子を平均値で近似してもいいですが面倒なので,最大値1で近似します.つまり,f1/2に近い領域では,分子はほぼ一定で1くらい,分母は\sin^2 (\pi f) = (\pi f)^2と近似します.

 \displaystyle \frac{\sin^2(\pi f s)}{\sin^2(\pi f)}=\frac{1}{(\pi f)^2}

私の言っていることが信じられないと思いますので,グラフで近似結果を見てみます.下の図で,近似なしが青実線,近似が赤破線です.特徴は近似できています.

関数の近似の確認

 この近似を使うことにして,2つの近似曲線の交点は, \displaystyle f = \frac{1}{\pi s}です.したがって,

  \displaystyle \frac{\sin^2(\pi f s)}{\sin^2(\pi f)} = \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle s^2 & \displaystyle \left(0 < |f| < \frac{1}{\pi s} \right) \\
\displaystyle\frac{1}{(\pi f)^2} & \displaystyle \left(\frac{1}{\pi s} < |f| < \frac{1}{2} \right)
\end{array}
\right.

と近似します.\displaystyle F^2(s)の式にS(f) \propto f^{-\beta}を代入し,さらにこの近似を使って,計算してみます.

  \begin{eqnarray}
 \displaystyle F^2(s) &=& \int_{-1/2}^{1/2} \frac{\sin^2(\pi f s)}{\sin^2(\pi f)} S(f) df \\
&=& 2 \int_{0}^{1/2} \frac{\sin^2(\pi f s)}{\sin^2(\pi f)} S(f) df \\
&=& 2 \int_{0}^{1/2} \frac{\sin^2(\pi f s)}{\sin^2(\pi f)} f^{-\beta} df \\
&\approx& 2 \int_{0}^{1/(\pi s)} \! f^{-\beta} s^2 \, df + \int_{1/(\pi s)}^{1/2} \! f^{-\beta} (\pi f)^{-2} \, df
 \end{eqnarray}

この計算では,-1 < \beta < 1のとき,積分の公式が使えるので,積分の部分を別々に計算すると,

\begin{eqnarray}
\int_{0}^{1/(\pi s)} \! f^{-\beta} s^2 \, df &=& s^2 \left[\frac{f^{-\beta+1}}{-\beta+1} \right]_0^{1/(\pi s)}\propto  s^{\beta+1} \\
\int_{1/(\pi s)}^{1/2} \! f^{-\beta} (\pi f)^{-2} \, df &=& \frac{1}{\pi^2} \left[\frac{f^{-\beta-1}}{-\beta-1} \right]_{1/(\pi s)}^{1/2} \propto  s^{\beta+1}
\end{eqnarray}

です (sの何乗になるかだけ気にしてください).
ということで,-1 < \beta < 1の範囲では,

  \begin{eqnarray}
 \displaystyle F^2(s) &\propto&  s^{\beta+1}
 \end{eqnarray}

になってます.F^2(s) \propto s^{2 \alpha}と比較して,

  \displaystyle 
 \alpha = \frac{\beta + 1}{2} \quad (-1 < \beta < 1)

 \beta < -1では,積分f = 1/2の近くの面積が大きくなるので,sの依存性は消えて,一定値,つまり,F^2(s) \propto s^{0} (\alpha = 0)になっちゃいます.

 \beta > 1では,第一項の積分において,f = 0に近い領域の面積がどでかくなるので,積分に関係ないs^2のみが効いてきます.したがって, F^2(s) \propto s^2,すなわち,\alpha = 1です.

以上をまとめますと,以下のようになります.

  \displaystyle \alpha = \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{\beta + 1}{2} & \displaystyle  (-1 < \beta < 1) \\
\displaystyle 0 & \displaystyle  (\beta < -1) \\
1 & (1 < \beta) 
\end{array}
\right.

結局,使える\alphaの範囲は,0から1です.狭すぎです.

\alpha\gammaの関係

 これは,前に導きました.
chaos-kiyono.hatenablog.com

長期記憶過程に対応する,0 < \gamma < 1の範囲では,

  \displaystyle 
\alpha = \frac{2-\gamma}{2} \quad (0 < \gamma < 1)

負の長時間相関の,1 < \gamma < 2の範囲でも,成り立ちますが,導出について今は思いつかないので,機会があれば説明します.