【時系列解析】ランダムウォーク解析の解析的考察（その4：スケーリング指数の関係）

「ランダムウォーク解析」の話の続きです．前回の記事は，これです．
chaos-kiyono.hatenablog.com

　ランダムウォーク解析では，(1) 観測時系列の平均を０にして，(2) 積分して，(3) その増分の2乗平均の平方根 $F(s)$ をいろんなスケール $s$ で計算して，(4) $\log s$ 対 $\log F(s)$ のプロットの傾きをスケーリング指数 $\alpha$ として求める，のでした．ここでは，

　 $F(s) \propto s^{\alpha}$

の関係がみられる場合を考えています．

　これまで説明してなかったかもしれませんが，「スケーリング」とはべき関数（ $a$ を定数として $x^a$ の形）で表される関係のことで，「スケーリング指数」とはべき指数（ $x^a$ のときは $a$ ）のことです．

　 $F(s) \propto s^{\alpha}$ の関係がみられる代表的なケースに，以下の「長期記憶」，「長時間相関」，「フラクタル性 (自己アフィン性)」があります．

時系列の長期記憶，長時間相関，フラクタル性

長期記憶過程では，自己共分散関数 $C(k)$ が，

　 $C(k) \propto |k|^{-\gamma} \quad (0 < \gamma < 1)$

となり，パワースペクトル $S(f)$ が，

　 $S(f) \propto |f|^{-\beta} \quad (0 < \beta < 1)$

となります．スケーリング指数 $\alpha$ と $\beta$ の間に

　 $\gamma+\beta=1$

の関係が成り立ちます．

長時間相関過程は長期記憶過程を含みますが，長期記憶過程に対応する正の長時間相関だけでなく，負の長時間相関もあります．長時間相関過程では，パワースペクトル $S(f)$ が，

　 $S(f) \propto |f|^{-\beta} \quad (-1 < \beta < 1)$

となります．負の長時間相関では，自己共分散関数 $C(k)$ が負の値もとるので，絶対値をとると，

　 $|C(k)| \propto |k|^{-\gamma} \quad (1 < \gamma < 2)$

となってます． $\beta=0$ と， $\beta=1$ の場合を除いて， $\gamma+\beta=1$ は成り立ってます．

フラクタル過程 (自己アフィン性をもつ時系列)では，パワースペクトル $S(f)$ が，

　 $S(f) \propto |f|^{-\beta} \quad (1 < \beta < 3)$

となります．非定常なので，自己共分散は， $C(k)$ のように，ラグ $k$ の関数として書くことはできません．

　ここまでに，３つのスケーリング指数， $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ が登場しました．今回は，ランダムウォーク解析で， $\alpha$ と $\beta$ ，あるいは， $\alpha$ と $\gamma$ の関係を解析的に導きます．

基本事項の確認

1. $F(s)$ との関係式
　これまでの記事で，以下の関係を導きました．今回は，これらの関係式を使って計算していきます．

自己共分散関数 $C(k)$ とランダムウォーク解析のゆらぎ関数 $F(s)$ の関係
　

$\displaystyle F^2(s) = \sum_{k=-(s-1)}^{s-1} (s-|k|) C(k)$

パワースペクトル $S(f_k)$ とランダムウォーク解析のゆらぎ関数 $F(s)$ の関係 ( $f_k=k/N$ です)

$\begin{equation} \displaystyle F^2(s) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \frac{\sin^2(\pi f_k s)}{\sin^2(\pi f_k)} S(f_k) \end{equation}$

2. 和を積分で近似
　区分求積法で，幅を無限小にしない場合，和と積分は等しくないけれど，近似になってます．つまり，

$\displaystyle \sum_{k=k_1}^{k_2} f(x[k]) \Delta x[k] \approx \int_{x[k_1]}^{x[k_2]} f(x) \, dx$

3. $\sin x \approx x$
　よく使う近似式です．マクローリン展開で，１次の項まで残してます．

$\alpha$ と $\beta$ の関係

　基本事項1にある

　 $\begin{equation} \displaystyle F^2(s) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \frac{\sin^2(\pi f_k s)}{\sin^2(\pi f_k)} S(f_k) \end{equation}$

において， $\Delta f_k = f_{k+1}-f_{k}=1/N$ なので，

　 $\begin{eqnarray} \displaystyle F^2(s) &=& \sum_{k=0}^{N-1} \frac{\sin^2(\pi f_k s)}{\sin^2(\pi f_k)} S(f_k) \Delta f_k \\ \end{eqnarray}$

と書けて， $N \to \infty$ で，

　 $\begin{eqnarray} \displaystyle F^2(s) &=& \int_{0}^{1} \frac{\sin^2(\pi f s)}{\sin^2(\pi f)} S(f) df \\ &=& \int_{-1/2}^{1/2} \frac{\sin^2(\pi f s)}{\sin^2(\pi f)} S(f) df \end{eqnarray}$

となります．積分区間は，ナイキスト周波数を意識して変更しました．

　上の積分に $S(f) \propto f^{-\beta}$ を代入して計算できればいいですが，私にはできないので， $\frac{\sin^2(\pi f s)}{\sin^2(\pi f)}$ を近似することで，無理やり計算します．

　 $f$ が，ものすごく小さいときは，上の基本事項３を使って，

　 $\displaystyle \frac{\sin^2(\pi f s)}{\sin^2(\pi f)}=\frac{(\pi f s)^2}{(\pi f)^2} = s^2$

とできそうです．

　 $f$ が， $1/2$ に近づいてくると， $s \gg 1$ ( $s$ がでかい)が影響してきて，分子の $\pi f s$ が小さい値とは言えなくなります．ですので， $\sin x \approx x$ は使えません．別の方法で近似する必要があります．
　
　 $\sin^2(\pi f s)$ は， $s$ が大きい値のとき， $f$ が変わると激しく振動します．それと， $\sin^2(\pi f s)$ は，最小値0，最大値1で振動するだけです．ということで，分子を平均値で近似してもいいですが面倒なので，最大値１で近似します．つまり， $f$ が $1/2$ に近い領域では，分子はほぼ一定で１くらい，分母は $\sin^2 (\pi f) = (\pi f)^2$ と近似します．

　 $\displaystyle \frac{\sin^2(\pi f s)}{\sin^2(\pi f)}=\frac{1}{(\pi f)^2}$

私の言っていることが信じられないと思いますので，グラフで近似結果を見てみます．下の図で，近似なしが青実線，近似が赤破線です．特徴は近似できています．

　この近似を使うことにして，２つの近似曲線の交点は， $\displaystyle f = \frac{1}{\pi s}$ です．したがって，

　 $\displaystyle \frac{\sin^2(\pi f s)}{\sin^2(\pi f)} = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle s^2 & \displaystyle \left(0 < |f| < \frac{1}{\pi s} \right) \\ \displaystyle\frac{1}{(\pi f)^2} & \displaystyle \left(\frac{1}{\pi s} < |f| < \frac{1}{2} \right) \end{array} \right.$

と近似します． $\displaystyle F^2(s)$ の式に $S(f) \propto f^{-\beta}$ を代入し，さらにこの近似を使って，計算してみます．

　 $\begin{eqnarray} \displaystyle F^2(s) &=& \int_{-1/2}^{1/2} \frac{\sin^2(\pi f s)}{\sin^2(\pi f)} S(f) df \\ &=& 2 \int_{0}^{1/2} \frac{\sin^2(\pi f s)}{\sin^2(\pi f)} S(f) df \\ &=& 2 \int_{0}^{1/2} \frac{\sin^2(\pi f s)}{\sin^2(\pi f)} f^{-\beta} df \\ &\approx& 2 \int_{0}^{1/(\pi s)} \! f^{-\beta} s^2 \, df + \int_{1/(\pi s)}^{1/2} \! f^{-\beta} (\pi f)^{-2} \, df \end{eqnarray}$

この計算では， $-1 < \beta < 1$ のとき，積分の公式が使えるので，積分の部分を別々に計算すると，

$\begin{eqnarray} \int_{0}^{1/(\pi s)} \! f^{-\beta} s^2 \, df &=& s^2 \left[\frac{f^{-\beta+1}}{-\beta+1} \right]_0^{1/(\pi s)}\propto s^{\beta+1} \\ \int_{1/(\pi s)}^{1/2} \! f^{-\beta} (\pi f)^{-2} \, df &=& \frac{1}{\pi^2} \left[\frac{f^{-\beta-1}}{-\beta-1} \right]_{1/(\pi s)}^{1/2} \propto s^{\beta+1} \end{eqnarray}$

です ( $s$ の何乗になるかだけ気にしてください)．
ということで， $-1 < \beta < 1$ の範囲では，

　 $\begin{eqnarray} \displaystyle F^2(s) &\propto& s^{\beta+1} \end{eqnarray}$

になってます． $F^2(s) \propto s^{2 \alpha}$ と比較して，

　 $\displaystyle \alpha = \frac{\beta + 1}{2} \quad (-1 < \beta < 1)$

　 $\beta < -1$ では，積分で $f = 1/2$ の近くの面積が大きくなるので， $s$ の依存性は消えて，一定値，つまり， $F^2(s) \propto s^{0}$ ( $\alpha = 0$ )になっちゃいます．

　 $\beta > 1$ では，第一項の積分において， $f = 0$ に近い領域の面積がどでかくなるので，積分に関係ない $s^2$ のみが効いてきます．したがって， $F^2(s) \propto s^2$ ，すなわち， $\alpha = 1$ です．

以上をまとめますと，以下のようになります．

　 $\displaystyle \alpha = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{\beta + 1}{2} & \displaystyle (-1 < \beta < 1) \\ \displaystyle 0 & \displaystyle (\beta < -1) \\ 1 & (1 < \beta) \end{array} \right.$

結局，使える $\alpha$ の範囲は，0から1です．狭すぎです．