【時系列解析】長期記憶，長時間相関，フラクタル - ケィオスの時系列解析メモランダム

時系列の長期記憶 (long memory)，長時間相関 (long-range correlation)，フラクタル性 (fractality)について整理しておきます．

長期記憶過程 (long memory process)

　長期記憶過程は自己共分散関数 $C(k)$ が，

$\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} \left |C(k) \right| = \infty \end{eqnarray}$

　となる確率過程です．何で全部足すの？という疑問がわくと思います．以前に１次自己回帰過程で，相関が0とみなせるまでの時間の話をしました．
　chaos-kiyono.hatenablog.com

１次自己回帰過程のように，相関が0とみなせるまでの時間が見積もれる (特徴的な時間スケールを持つ)場合は，上の積分は有限の値になります．その値が記憶の長さと比例します．上の積分が有限の値になる場合は，短期記憶過程です．

　長期記憶過程では，

$C(k) \propto |k|^{-\gamma} \quad (0 < \gamma < 1)$

となり，パワースペクトル $S(f)$ が，

$S(f) \propto |f|^{-\beta} \quad (0 < \beta < 1)$

となります．スケーリング指数 $\alpha$ と $\beta$ の間に

$\gamma+\beta=1\quad (0 < \gamma < 1, 0 < \beta < 1)$

の関係が成り立ちます．とはいえ， $\gamma$ が0に近かったり，1に近かったりすると，実際の時系列からの推定では， $C(k) \propto |k|^{-\gamma}$ からかなりずれています．

　長期記憶過程の代表的モデルは，

ハースト (Hurst)指数 $H$ が， $0.5 < H < 1$ の領域の非整数ガウスノイズ (fractional Gaussian noise)
ARFIMA (Autoregressive fractionally integrated moving average)過程のうち，パラメタ $d$ が $0 < d < 0.5$ の領域のARIFIMA(0,d,0)過程

があります．非整数ガウスノイズは，非整数ブラウン運動 (fractional Brownian motion)の増分過程です (差分をとった時系列)ので，ハースト (Hurst)指数 $H$ は対応する，非整数ブラウン運動の値で指定されます．

長時間相関過程 (long-range correlated process)

　長時間相関過程は長期記憶過程を含みます．長期記憶過程は，正の長時間相関と同じです．長時間相関には，負の長時間相関もあります．長時間相関過程では，パワースペクトル $S(f)$ が，

$S(f) \propto |f|^{-\beta} \quad (-1 < \beta < 1)$

となります．負の長時間相関では，自己共分散関数 $C(k)$ が負の値もとるので，絶対値をとると，

$|C(k)| \propto |k|^{-\gamma} \quad (1 < \gamma < 2)$

となってます． $\beta=0$ と， $\beta=1$ の場合を除いて， $\gamma+\beta=1$ は成り立ってます．

　負の長時間相関過程では，

　 $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} \left |C(k) \right| \end{eqnarray}$

は有限の値になりますので，長期記憶過程ではありません．

　長時間相関の代表的モデルは，

非整数ガウスノイズ ( $0 < H < 0.5$ , $0.5 < H < 1$ )
ARIFIMA(0,d,0)過程 ( $-0.5 < d <0$ , $0< d< 0.5$ )

があります．非整数ガウスノイズは，非整数ブラウン運動 (fractional Brownian motion)の増分過程です (差分をとった時系列)．

フラクタル過程

　フラクタル過程 (自己アフィン性をもつ時系列)では，パワースペクトル $S(f)$ が，

$S(f) \propto |f|^{-\beta} \quad (1 < \beta < 3)$

となります．非定常なので，自己共分散は， $C(k)$ のように，ラグ $k$ の関数として書くことはできません (弱定常ではないし，上の２つの過程と比較できるような自己共分散関数は存在しません)．

　ハースト (Hurst)指数 $H$ と $\beta$ には，

$\beta = 2H + 1$

の関係が成り立ちます．

　フラクタル過程の代表的モデルは，

非整数ブラウン運動

です．長時間相関過程を積分したものも，フラクタル過程になります．

　 $S(f) \propto |f|^{-\beta}$ を示す時系列を積分すると， $S(f) \propto |f|^{-(\beta+2)}$ となることを，以前，説明しました．
chaos-kiyono.hatenablog.com
chaos-kiyono.hatenablog.com
ですので，何回も時系列を積分すれば， $S(f) \propto |f|^{-\beta} \quad (\beta > 3)$ の時系列も作ることができます．