【確率過程・時系列解析】自己回帰過程のパワースペクトルと自己共分散（自己相関）の関係（複素積分表示）

今回は，自己回帰過程について，パワースペクトルの複素積分で，対応する自己共分散（自己相関）を表します．これは，

「 $m$ 次自己回帰過程のパワースペクトルは，1次自己回帰過程と2次自己回帰過程のパワースペクトルの和になっている」

あるいは，

「 $m$ 次自己回帰過程の自己共分散（自己相関）は，1次自己回帰過程と2次自己回帰過程の自己共分散（自己相関）の和になっている」

ということを，示すための準備です．

パワースペクトルの複素積分で自己共分散（自己相関）を表現

　 $m$ 次自己回帰過程（以下の $w(t)$ は平均0，分散 $\sigma^2$ の白色ガウスノイズ）

　 $\begin{eqnarray} y[i] = \sum_{m=1}^{M} a_m\, y[i-m] + w[i] \end{eqnarray}$

の特性方程式

　 $\begin{equation} \displaystyle 1 - \sum_{m=1}^{M} a_m z^{m} = 0 \end{equation}$

について前に説明しました．

chaos-kiyono.hatenablog.com

自己回帰過程が発散しない (定常)になる条件は，
　「特性方程式の解 (根)の絶対値がすべて1より大きい」
ということです．

　ここでは，特性方程式の多項式の部分を

$\begin{equation} \displaystyle A(z) = 1 - \sum_{m=1}^{M} a_m z^{m} \end{equation}$

とおきます．

　 $A(z)$ を使えば， $m$ 次自己回帰過程のパワースペクトル $S(f)$ は， $N \to \infty$ のとき，

$\begin{eqnarray} S(f) &=& \frac{\sigma^2 }{\displaystyle \left( 1-\sum_{m=1}^{M} a_m \, \left( e^{i 2 \pi f} \right)^{-m} \right) \left( 1-\sum_{m=1}^{M} a_m \, \left( e^{i 2 \pi f} \right)^m \right)} \\ &=& \left. \frac{\sigma^2 }{\displaystyle A(z^{-1}) \, A(z)} \right|_{z=\exp( i 2 \pi f)} \end{eqnarray}$

と表すことができます．

　ここでは前提として，特性方程式 $A(z)=0$ の根

　 $\{\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_M \}$

の絶対値がすべて1より大きいとします．

　このとき， $A(z^{-1})=0$ の根は，

　 $\{1/\lambda_1, 1/\lambda_2, \cdots, 1/\lambda_M \}$

になるので，

　「 $A(z^{-1})=0$ の根の絶対値はすべて1より小さくなります」 (これ重要です)．

前の記事
chaos-kiyono.hatenablog.com
で説明した

　 $\begin{eqnarray} C(\, j\, ) &=& \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} S(\,f\, )\, e^{i 2 \pi f j } \, df \nonumber \\ \end{eqnarray}$

となることを使えば， $m$ 次自己回帰過程

　 $\begin{eqnarray} y[i] = \sum_{m=1}^{M} a_m\, y[i-m] + w[i] \end{eqnarray}$

のパワースペクトルは，

　 $\begin{eqnarray} C(\, j\, ) &=& \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sigma^2 }{\displaystyle \left( 1-\sum_{m=1}^{M} a_m \, \left( e^{i 2 \pi f} \right)^{-m} \right) \left( 1-\sum_{m=1}^{M} a_m \, \left( e^{i 2 \pi f} \right)^m \right)} \, df \\ &=& \frac{\sigma^2}{i 2 \pi} \int_{|z| = 1} \! \frac{1}{A(z^{-1}) A(z)} z^{k-1}\, dz \end{eqnarray}$