線形確率過程の定義が曖昧なまま,「非線形何たら」とか感覚的な話をする論文が増えていると感じます.心拍変動指標では,パワースペクトルの両対数プロットの傾きが非線形指標に分類されて,もう30年くらいたちます (何で非線形なの?).ということで今回は,線形確率過程の代表的な定義を紹介します.
文章で定義するのであれば,
「移動平均過程の形 (無限次元あり)で表すことができる確率過程が,線形確率過程」
です.式を使って書けば,以下のようになります.
独立で同じ分布に従う確率変数 (は整数)を使って,
と表すことができる確率過程を線形確率過程と呼ぶ.ここで,,は定数.
と表すことができる確率過程を線形確率過程と呼ぶ.ここで,,は定数.
定義なので文句は言わないでください.私はこの定義を知っていましたが,それを書いてある本が見つからず,説明するには自信がありませんでした.でも,先週買った本「Long-Memory Processes: Probabilistic Properties and Statistical Methods」(by Beranら)に書いてあったので,今回自信をもって説明します.とはいえ,数学的な厳密なことは説明できません.
は平均値を表すパラメタなので0として省略することにします.ラグオペレータを使って表すと,
となります.ラグオペレータを何乗かする演算だけ (の多項式)で書けて,この演算は線形なので,まー,線形です.ラグオペレータと線形性については,過去の記事(以下の2つ)を参照してください.
chaos-kiyono.hatenablog.com
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