ケィオスの時系列解析メモランダム

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【論文メモ】グレンジャー因果性のオリジナル論文Grainger (1969) : (その1)パワースペクトルの定義

これまでの人生で,グレンジャー因果性について真剣に取り組んでこなかったので,反省して最近勉強をはじめました.ということで,Graingerのオリジナル論文 [Granger, C. W. (1969). Investigating causal relations by econometric models and cross-spectral methods. Econometrica: journal of the Econometric Society, 424-438]をダウンロードして読みました.印象に残った点を自分用にメモっておきます.今回は,パワースペクトルおよびクロススペクトルの定義の部分だけです.

パワースペクトルの定義

 論文の最初に2通りの方法でパワースペクトルおよびクロススペクトルの定義が与えられています.

 一つ目が,パワースペクトルのクラマー表現 (Cramer representation, Cramer’s spectral representation)です.私は,Cramer representationってはじめて知りました.論文に登場する式は,ぱっと見で分かりづらいので,知っている形と対比しておきます.

【論文中の式】
 X_tが平均0の定常過程のとき,

 \displaystyle X_t = \int_{-\pi}^{\pi} \! e^{i t \omega} \, dz_x (\omega)

とする.ここで,dz_x (\omega)は,無相関な増分をもつ複素数確率過程で,以下を満たす.

  \begin{eqnarray} E \left[ dz_x (\omega)\,  \overline{dz_x (\lambda)} \right] &=&  \left\{ \begin{array}{ll}
0 &\quad \omega \neq \lambda \\
dF_x(\omega) & \quad \omega = \lambda \\
\end{array}\right. \end{eqnarray}

(\omega\lambdaは角周波数,\overline{z}z複素共役を表します)
【論文中の式はここまで】

 X_tパワースペクトルf_x(\omega)とし, dF_x (\omega) = f_x(\omega)\, d \omegaとして,論文ではパワースペクトルの定義を与えています.パワースペクトルは,正式にはパワースペクトル密度なので,確率密度関数をf(x)\, dxと書く流儀のように,こういった表現もあるのだと感じました.私が普段使っている表現で書けば,時系列 X_tの離散フーリエ変換

 \displaystyle \hat{X}(\omega) = \sum_{t=0}^{N-1}X_t \, e^{-i t \omega}

として,

 \displaystyle dz_x (\omega) = \frac{\hat{X}(\omega) }{2 \pi} d \omega

だと思います.

 この場合,

  \begin{eqnarray} E \left[ dz_x (\omega)\,  \overline{dz_x (\omega)} \right] &=& E \left[ \frac{\hat{X}(\omega) }{2 \pi} d \omega \cdot \frac{\overline{\hat{X}(\omega)} }{2 \pi} d \omega \right] \\
&=& E \left[\frac{\hat{X}(\omega)\, \overline{\hat{X}(\omega)} }{(2 \pi)^2} d \omega^2 \right] \\
&=& E \left[\frac{\hat{X}(\omega)\, \overline{\hat{X}(\omega)}} {2 \pi} \frac{d \omega}{2 \pi}  \right]  d \omega \\
&=& E \left[\lim_{N \to \infty }\frac{\hat{X}(\omega)\, \overline{\hat{X}(\omega)}} {2 \pi N}  \right]  d \omega \\
 \end{eqnarray}

となります.ここで,

  \displaystyle \frac{1}{N} = \Delta f = \frac{\Delta \omega}{2 \pi}

であることを使いました.

 ということで,パワースペクトルは,

 \displaystyle f_x(\omega) = E \left[\lim_{N \to \infty }\frac{\hat{X}(\omega)\, \overline{\hat{X}(\omega)}} {2 \pi N}  \right]

だよと,論文では書いてあるのだと思います.正確には,

 \displaystyle f_x(\omega)\, d\omega = E \left[\lim_{N \to \infty }\frac{\hat{X}(\omega)\, \overline{\hat{X}(\omega)}} {2 \pi N}  \right]\, d\omega

です.(そういえば,昔,研究会で会った計量経済学の先生が,密度の関数にdxを付けてないのを細かく指摘していたのを思い出しました.d \omegaは絶対必要です.)

 もう一つの定義は,パワースペクトルを逆フーリエ変換すると,自己共分散という形を示して,パワースペクトルを定義しています.

クロススペクトル

 クロススペクトル (パワークロススペクトル)も,パワースペクトルと同様です.

【論文中の式】
 X_tおよびY_tがともに平均0の定常過程のとき,

 \displaystyle Y_t = \int_{-\pi}^{\pi} \! e^{i t \omega} \, dz_y (\omega)

とする.このとき,クロススペクトルCr (\omega)が次の式で与えられる.

  \begin{eqnarray} E \left[ dz_x (\omega)\,  \overline{dz_y (\lambda)} \right] &=&  \left\{ \begin{array}{ll}
0 &\quad \omega \neq \lambda \\
Cr (\omega) d\omega & \quad \omega = \lambda \\
\end{array}\right. \end{eqnarray}

【論文中の式はここまで】

 時系列 Y_tの離散フーリエ変換

 \displaystyle \hat{Y}(\omega) = \sum_{t=0}^{N-1} Y_t \, e^{-i t \omega}

とすれば,パワースペクトルのときと同様の式変形で,

 \displaystyle Cr(\omega) = E \left[\lim_{N \to \infty }\frac{\hat{X}(\omega)\, \overline{\hat{Y}(\omega)}} {2 \pi N}  \right]

になります.

 パワースペクトルのクラマー表現 (Cramer representation, Cramer’s spectral representation)では,非定常過程の特徴付けに拡張できるので面白いと思いました.さらに勉強を続けます.