ケィオスの時系列解析メモランダム

時系列解析，生体情報学，数学・物理などの解説です．

【確率過程】ARFIMA(0, d, 0)のAR過程近似

長時間相関確率過程時系列解析差分方程式パワースペクトル

長時間相関を示すARFIMA(0, d, 0)を無限次の自己回帰過程 (AR過程: autoregressive process)として近似した形のメモです．これを考えるねらいは，長時間相互相関過程のGranger因果性を調べる方法を検討したいからです．既に，論文があれば教えてください．長時間相互相関の分析法は，この論文を参考にしてもらえるとうれしいです．
［Generalized theory for detrending moving-average cross-correlation analysis: A practical guide - ScienceDirect］

　過去のARFIMA(0, d, 0)の関連記事はこれです．とはいえ，私はARFIMA(0, d, 0)を説明していません．

chaos-kiyono.hatenablog.com

ARFIMA(0, d, 0)

　非整数差分のアイデアで長時間相関をモデル化したのが，ARFIMA(0, d, 0)でした．ラグオペレータ $L$ を使えば，1階差分は，

　 $y[t]-y[t-1] = y[t]- L y[t] = (1-L)^1 y[t]$

2階差分は，

　 $(y[t]-y[t-1])- (y[t-1]-y[t-2]) = (1-L)^2 y[t]$

と表せるので， $d$ 階差分は，

　 $(1-L)^d y[t]$

になってくれれば都合がいいです．

　ということで，ARFIMA(0, d, 0)は，

　 $\displaystyle (1-L)^d y[t] = w[t] \quad \left(- \frac{1}{2} < d < \frac{1}{2} \right)$

と表されます．ここで， $w[t]$ は平均0と分散 $\sigma^2$ の白色ノイズです．

MA過程表現とAR過程表現

これを移動平均過程 (MA過程: moving average process)として表せば，

$\displaystyle y [t] = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\Gamma(j+d)}{\Gamma(j+1) \Gamma(d)} L^j w[t-j]$

です．ここで， $\Gamma (z)$ はガンマ関数

　 $\displaystyle \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} t^{z-1}e^{-t}\, dz$

です．

　また，自己回帰過程 (AR過程: autoregressive process)として表せば，

$\displaystyle \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\Gamma(j-d)}{\Gamma(j+1) \Gamma(-d)} L^j y [t] = w[t]$

だそうです．

　近いうちに，数値実験をします．