ケィオスの時系列解析メモランダム

時系列解析,生体情報学,数学・物理などの解説です.

【確率過程】ARFIMA(0, d, 0)のAR過程近似

長時間相関を示すARFIMA(0, d, 0)を無限次の自己回帰過程 (AR過程: autoregressive process)として近似した形のメモです.これを考えるねらいは,長時間相互相関過程のGranger因果性を調べる方法を検討したいからです.既に,論文があれば教えてください.長時間相互相関の分析法は,この論文を参考にしてもらえるとうれしいです.
Generalized theory for detrending moving-average cross-correlation analysis: A practical guide - ScienceDirect

 過去のARFIMA(0, d, 0)の関連記事はこれです.とはいえ,私はARFIMA(0, d, 0)を説明していません.

chaos-kiyono.hatenablog.com

ARFIMA(0, d, 0)

 非整数差分のアイデアで長時間相関をモデル化したのが,ARFIMA(0, d, 0)でした.ラグオペレータLを使えば,1階差分は,

 y[t]-y[t-1] = y[t]- L y[t] = (1-L)^1 y[t]

2階差分は,

  (y[t]-y[t-1])- (y[t-1]-y[t-2]) =  (1-L)^2 y[t]

と表せるので,d階差分は,

 (1-L)^d y[t]

になってくれれば都合がいいです.

 ということで,ARFIMA(0, d, 0)は,

 \displaystyle (1-L)^d y[t] = w[t] \quad \left(- \frac{1}{2} < d < \frac{1}{2} \right)

と表されます.ここで,w[t]は平均0と分散\sigma^2の白色ノイズです.

MA過程表現とAR過程表現

これを移動平均過程 (MA過程: moving average process)として表せば,

 \displaystyle 
 y [t] = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\Gamma(j+d)}{\Gamma(j+1) \Gamma(d)} L^j w[t-j]

です.ここで,\Gamma (z)はガンマ関数

 \displaystyle \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} t^{z-1}e^{-t}\, dz

です.

 また,自己回帰過程 (AR過程: autoregressive process)として表せば,

 \displaystyle 
 \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\Gamma(j-d)}{\Gamma(j+1) \Gamma(-d)} L^j y [t] =  w[t]

だそうです.

 近いうちに,数値実験をします.