【信号処理の基礎】デジタルフィルタの周波数特性 - ケィオスの時系列解析メモランダム

デジタルフィルタの周波数特性について説明します．

　移動平均とか，差分とか，Savitzky-Golayフィルタとか，そういった計算はこの式

　 $y[n]= \displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k\, x[n-k]$

の形で書くことができます．この形で $\{x[n]\}$ を， $\{y[n]\}$ に変えるのが，線形のデジタルフィルタです．

　例えば，3点の移動平均は， $a_{-1}=a_{0}=a_{1}=1/3$ ，それ以外は0として，

　 $y[n]= \displaystyle \frac{1}{3} x[n-1]+\frac{1}{3} x[n]+\frac{1}{3} x[n+1]$

です．

　隣り合う2点の差分は， $a_{0}=1, a_{1}=-1$ ，それ以外は0として，

　 $y[n]= \displaystyle x[n] - x[n-1]$

です．

　このようなデジタルフィルタの特性を知りたいときどうするか？というのが今回のお話です．

単位インパルス応答
3点移動平均フィルタの単位インパルス応答
差分フィルタの単位インパルス応答
線形フィルタは周波数ごとに特性が決まる
まとめ

単位インパルス応答

　畳込み定理を使えば，

　 $y[n]= \displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k \, x[n-k]$

が成り立つとき， $\{x[n]\}$ ， $\{y[n]\}$ ， $\{a_n\}$ の離散フーリエ変換を，それぞれ， $X\left(f\right)$ ， $Y\left(f\right)$ ， $A\left(f\right)$ とすれば，

　 $Y\left(f\right)= \displaystyle A\left(f\right) X\left(f\right)$

が成り立ちます．

　畳込み定理なんて知らなくても導出できます．前に導出したように，

$x[n]$ のフーリエ変換が $X\left(f\right)$ のとき， $x[n-k$ ]のフーリエ変換は $e^{-i 2 \pi f k} X\left(f \right)$

なので，

　 $\begin{eqnarray} y[n] &=& \displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k \, x[n-k] \\ Y \left(f \right) &=& \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k \left( \,e^{-i 2 \pi f k} X \left(f \right) \right) \\ &=& \left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k \,e^{-i 2 \pi f k} \right) X \left(f \right) \end{eqnarray}$

となります．最後の括弧の中身は， $\{a_k\}$ の離散フーリエ変換

　 $\displaystyle A\left(f\right) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k \,e^{-i 2 \pi f k}$

になってます．

　 $\displaystyle A\left(f\right) = \frac{Y\left(f\right)}{X\left(f\right)}$ はデジタルフィルタの周波数特性を表しています．

　 $x[n]$ が単位インパルス

　　 $x[n] = \left\{\begin{array}{ll} 1 & (n=0) \\ 0 & (n \neq 0)\end{array} \right.$

のときに， $X \left(f \right) = 1$ になるので，出力 $y[n]$ の応答 $Y \left(f \right)$ は， $Y\left(f\right) = A\left(f\right)$ です．そのため， $\displaystyle A\left(f\right)$ は，単位インパルス応答と呼ばれます．単位インパルスのフーリエ変換は $X \left(f \right) = 1$ なので，すべての周波数を均等に含んでいることを，忘れないでください．白色ノイズと，単位インパルスの，主な違いは，位相がそろっていないか，そろっといるかです．

3点移動平均フィルタの単位インパルス応答

　例として，次の3点の移動平均フィルタを考えます．

　 $y[n]= \displaystyle \frac{1}{3} x[n-1]+\frac{1}{3} x[n]+\frac{1}{3} x[n+1]$

両辺をフーリエ変換すると，

　 $\begin{eqnarray} Y\left(f \right) &=& \left(\frac{1}{3} e^{-i 2 \pi f} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} e^{i 2 \pi f} \right) X \left(f \right) \\ &=& \frac{1 + 2 \cos 2 \pi f}{3} X \left(f \right) \end{eqnarray}$

です．入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係を評価するために，

　 $\displaystyle \left| A\left(f\right) \right| = \left| \frac{Y\left(f\right)}{X\left(f\right)}\right|=\left|\frac{1 + 2 \cos 2 \pi f}{3}\right|$

のグラフを描いてみました．下の真ん中の図です．

単位インパルス応答の読み方．(左) 入力信号 $x[n]$ ．(中) 単位インパルスの絶対値．(右) 出力信号 $y[n]$ ．中央の図の赤い点が，入力信号と出力信号の周波数を表す．

単位インパルス応答の読み方．(左) 入力信号 $x[n]$ ．(中) 単位インパルスの絶対値．(右) 出力信号 $y[n]$ ．中央の図の赤い点が，入力信号と出力信号の周波数を表す．

　単位インパルス応答は，周期成分を入力したとき，出力の振幅がどうなるかを表しています．上の図では，左が入力する周期成分 $x[n]$ ，右がそれを移動平均した出力 $y[n]$ です．単位インパルス応答の値が小さい周波数では， $y[n]$ の振幅が小さくなることが分かります．さらに，周期成分の振動が細かくなると，正弦波っぽくないことに気づくと思います．離散時系列では，高い周波数できれいな正弦波にはならないんです．

差分フィルタの単位インパルス応答

　最近接の2点の差分をとるフィルタを考えます．

　 $y[n]= \displaystyle x[n] - x[n-1]$

この場合，単位インパルス応答は，

　 $A\left(f\right) = \displaystyle \frac{Y\left(f\right)}{X\left(f\right)} = 1 - e^{- i 2 \pi f}$

です． $\displaystyle \left| A\left(f\right) \right| = \left| \frac{Y\left(f\right)}{X\left(f\right)}\right|$ と，周期成分の入出力の関係のグラフは下のようになります．

差分フィルタの単位インパルス応答．(左) 入力信号 $x[n]$ ．(中) 単位インパルスの絶対値．(右) 出力信号 $y[n]$ ．中央の図の赤い点が，入力信号と出力信号の周波数を表す．

差分フィルタの単位インパルス応答．(左) 入力信号 $x[n]$ ．(中) 単位インパルスの絶対値．(右) 出力信号 $y[n]$ ．中央の図の赤い点が，入力信号と出力信号の周波数を表す．

線形フィルタは周波数ごとに特性が決まる

　線形フィルタでは， $\sin$ や $\cos$ で記述される振動成分を入力したときに，入力と出力の周波数は同じになる，ということを意識してください．入出力の周波数は同じで，変化するのは振幅と位相です．

　確かめたければ，

　 $y[n]= \displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k\, x[n-k]$

の式に，

　 $\begin{eqnarray} x[n]= A \sin (2 \pi f n) + B \cos (2 \pi f n) \end{eqnarray}$
　
を代入した場合を想像してください．この計算には，加法定理しか使わないので，周波数が変るわけありません．つまり，

　 $\begin{eqnarray} x[n-k] &=& A \sin (2 \pi f (n-k) ) + B \cos (2 \pi f (n-k)) \\ &=& A \sin (2 \pi f n ) \cos (2 \pi f k) - \cos (2 \pi f n ) \sin (2 \pi f k) ) \\ && + B \cos (2 \pi f n) \cos (2 \pi f k)) + \sin (2 \pi f n)\sin (2 \pi f k) \\ &=& A \left\{ \cos (2 \pi f k) + \sin (2 \pi f k)\right\} \sin (2 \pi f n ) \\ && + B \left\{ \cos (2 \pi f k)) - \sin (2 \pi f k)\right\} \cos (2 \pi f n) \\ &=& A_k \sin (2 \pi f n) + B_k \cos (2 \pi f n)\end{eqnarray}$

を足しているだけなので，周波数 $f$ が変りようがありません．ここで，定数部分を

　 $\begin{eqnarray} A_k &=& A \left\{ \cos (2 \pi f k) + \sin (2 \pi f k)\right\} \\ B_k &=& B \left\{ \cos (2 \pi f k) - \sin (2 \pi f k)\right\} \end{eqnarray}$

とおきました．

　念のため計算しておくと．

　 $\begin{eqnarray} x[n]= A \sin (2 \pi f n) + B \cos (2 \pi f n) \end{eqnarray}$

を
　
　 $y[n]= \displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k\, x[n-k]$

に代入すると，

　 $\begin{eqnarray} y[n] &=& \displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k\, \left\{ A \sin (2 \pi f (n-k) ) + B \cos (2 \pi f (n-k)) \right\} \\ &=& \displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k\, \left\{ A_k \sin (2 \pi f n) + B_k \cos (2 \pi f n)) \right\} \\ &=& \left( \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k\, A_k \right) \sin (2 \pi f n) + \left( \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k\, B_k \right) \cos (2 \pi f n) \\ \end{eqnarray}$