【信号処理の基礎】微分フィルタの紹介 - ケィオスの時系列解析メモランダム

微分フィルタの紹介です．ここでは，単純な差分フィルタとSavitzky-Golay微分フィルタを比較します．

　フィルタ長 $s$ の差分フィルタを

　 $y_n = x_{n+(s-1)/2}-x_{n-(s-1)/2}$

と定義しました．フィルタ長は奇数のみ考えます．

　Savitzky-Golay微分フィルタは，以前の記事を参照してください．
chaos-kiyono.hatenablog.com

　下の図上段のサンプル時系列 $x_n$ に，差分フィルタとSavitzky-Golay微分フィルタをかけてみました．それぞれの出力結果は，中段と下段です．

　フィルタ長3のときは，差分フィルタも，Savitzky-Golay微分フィルタも結果は同じです．

　フィルタ長が長くなると，Savitzky-Golay微分フィルタは，変化の滑らかさが増していきます．

　上で見たフィルタリング結果を，周波数特性をみれば，理解できます．下の図は，差分フィルタとSavitzky-Golay微分フィルタのそれぞれの係数と周波数応答です．フィルタ係数は，

　 $y_n= \displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k\, x_{n-k}$

の $\{a_k\}$ です．

　図右の周波数応答を見ると，差分フィルタはハイパス的，Savitzky-Golay微分フィルタはバンドパス的になっていることが分かります．

　微分フィルタで検索すると，画像のエッジ検出への応用が目につきます．時系列解析では，差分をとって非定常性を軽減するとか，ピーク検出に使うとかの応用があります．具体的な説明はそのうちにします．