ケィオスの時系列解析メモランダム

時系列解析,生体情報学,数学・物理などの解説です.

【信号処理の基礎】微分フィルタの紹介

微分フィルタの紹介です.ここでは,単純な差分フィルタとSavitzky-Golay微分フィルタを比較します.

 フィルタ長sの差分フィルタを

  y_n = x_{n+(s-1)/2}-x_{n-(s-1)/2}

と定義しました.フィルタ長は奇数のみ考えます.

 Savitzky-Golay微分フィルタは,以前の記事を参照してください.
chaos-kiyono.hatenablog.com

微分フィルタを通した結果

 下の図上段のサンプル時系列x_nに,差分フィルタとSavitzky-Golay微分フィルタをかけてみました.それぞれの出力結果は,中段と下段です.

微分フィルタの例.(上)入力信号.(中)差分フィルタ.(下)Savitzky-Golay微分フィルタ.

 フィルタ長3のときは,差分フィルタも,Savitzky-Golay微分フィルタも結果は同じです.

 フィルタ長が長くなると,Savitzky-Golay微分フィルタは,変化の滑らかさが増していきます.

フィルタ係数と周波数応答

 上で見たフィルタリング結果を,周波数特性をみれば,理解できます.下の図は,差分フィルタとSavitzky-Golay微分フィルタのそれぞれの係数と周波数応答です.フィルタ係数は,

 y_n= \displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k\, x_{n-k}

\{a_k\}です.

微分フィルタの係数と周波数応答

 図右の周波数応答を見ると,差分フィルタはハイパス的,Savitzky-Golay微分フィルタはバンドパス的になっていることが分かります.

微分フィルタの応用

 微分フィルタで検索すると,画像のエッジ検出への応用が目につきます.時系列解析では,差分をとって非定常性を軽減するとか,ピーク検出に使うとかの応用があります.具体的な説明はそのうちにします.