【非整数ブラウン運動の数理】非整数階積分と非整数ブラウン運動

非整数ブラウン運動の増分の定義式は，

$\begin{eqnarray} B_H(t_2)-B_H(t_1) &=& \frac{1}{\Gamma(H+1/2)} \left\{ \int_{-\infty}^{t_2} (t_2-s)^{H-1/2} \, dB(s) \right. \\ && \left. − \int_{-\infty}^{t_1} (t_1-s)^{H-1/2} \, dB(s) \right\} \end{eqnarray}$

です．定常とか，数学的な細かいことは無視して，非整数ブラウン運動を表すなら，

　 $\begin{eqnarray} B_H(t) &=& \frac{1}{\Gamma(H+1/2)} \int_{-\infty}^{t} (t-s)^{H-1/2} \, dB(s) \end{eqnarray}$

ってことです．今回は，この形の積分をどーやって思いつくのかを，私の限られた知識だけで書いておきます．前回の記事も参考にしてください．

chaos-kiyono.hatenablog.com

反復積分に関するコーシーの公式

　 $f(t)$ の積分を，

　 $\begin{eqnarray} I f(t)&=& \int_{a}^{t} \! f(\tau)\, d\tau \end{eqnarray}$

と書くことにします． $f(t)$ を2回繰り返し積分すると (部分積分の公式を使って計算してみます)，

　 $\begin{eqnarray} I^2 f(t)&=& I \left( I f(t) \right) = \int_{a}^{t} \left( \int_{a}^{\tau_2} \! f(\tau_1)\, d\tau_1 \right) \, d\tau_2 \\ &=& \int_{a}^{t} \left( \frac{d}{d\tau_2} \tau_2 \right) \left( \int_{a}^{\tau_2} \! f(\tau_1)\, d\tau_1 \right) \, d\tau_2 \\ &=& \left[\tau_2 \, \int_{a}^{\tau_2} \! f(\tau_1)\, d\tau_1 \right]_{\tau_2=a}^{t} - \int_{a}^{t} \tau_2 \, \frac{d}{d\tau_2} \left( \int_{a}^{\tau_2} \! f(\tau_1)\, d\tau_1 \right) \, d\tau_2 \\ &=& t \, \int_{a}^{t} \! f(\tau_1)\, d\tau_1 - \int_{a}^{t} \tau_2 \, f(\tau_2) \, d\tau_2 \\ &=& t \, \int_{a}^{t} \! f(\tau)\, d\tau - \int_{a}^{t} \tau \, f(\tau) \, d\tau \\ &=& \int_{a}^{t} (t-\tau) \, f(\tau)\, d\tau \end{eqnarray}$

になります．

　さらに， $f(t)$ を3回繰り返し積分すると
　 $\begin{eqnarray} I^3 f(t)&=& I \left( I^2 f(t) \right) = \int_{a}^{t} \left( \int_{a}^{\tau_3} (\tau_3-\tau) \, f(\tau)\, d\tau \right) \, d\tau_3 \\ &=& \int_{a}^{t} \left( \frac{d}{d\tau_3} \tau_3 \right)\left( \int_{a}^{\tau_3} (\tau_3-\tau) \, f(\tau)\, d\tau \right) \, d\tau_3 \\ &=& \left[\tau_3 \, \int_{a}^{\tau_3} (\tau_3-\tau) \, f(\tau)\, d\tau \right]_{\tau_3=a}^{t} - \int_{a}^{t} \tau_3 \, \frac{d}{d\tau_3} \left( \int_{a}^{\tau_3} (\tau_3-\tau) \, f(\tau)\, d\tau \right) \, d\tau_3 \\ &=& \left[\tau_3 \, \int_{a}^{\tau_3} (\tau_3-\tau) \, f(\tau)\, d\tau \right]_{\tau_3=a}^{t} - \int_{a}^{t} \tau_3 \left( \int_{a}^{\tau_3} \, f(\tau)\, d\tau \right) d\tau_3 \\ &=& t \, \int_{a}^{t} \! (t-\tau) \, f(\tau)\, d\tau - \int_{a}^{t} \left( \frac{d}{d \tau_3} \frac{\tau_3^2}{2} \right) \left( \int_{a}^{\tau_3} \, f(\tau)\, d\tau \right) d\tau_3 \\ &=& \frac{1}{2} \int_{a}^{t} (t^2-2 \tau t + \tau^2) \, f(\tau)\, d\tau \\ &=& \frac{1}{2} \int_{a}^{t} (t- \tau)^2 \, f(\tau)\, d\tau \\ \end{eqnarray}$

　Wikipediaの真似をしたくなかったので，部分積分だけで押し切りましたが，Wikipediaも参考にしてください．部分積分では，計算が面倒ですが，この計算を繰り返せば，次の，反復積分に関するコーシーの公式

$\begin{eqnarray} I^n f(t) = \frac{1}{(n-1)!} \int_{a}^{t} (t- \tau)^{n-1} \, f(\tau)\, d\tau \end{eqnarray}$

が成り立ちそうです．

　きちんとした証明は，数学的帰納法でやってください．つまり，

　 $\displaystyle I^n f(t) = \frac{1}{(n-1)!} \int_{a}^{t} (t- \tau)^{n-1} \, f(\tau)\, d\tau$

が成り立つことを仮定して， $I^{(n+1)} f(t)$ を計算し，

　 $\displaystyle I^{(n+1)} f(t) = \frac{1}{((n+1)-1)!} \int_{a}^{t} (t- \tau)^{(n+1)-1} \, f(\tau)\, d\tau$

になることを示すということです．Wikipediaの説明のあるように，二重積分 (累次積分)の順序を交換して計算すると以下のようになります．

　 $\begin{eqnarray} I^{(n+1)} f(t) &=& I \left( I^{n} f(t) \right) = \int_{a}^{t} \! \left( I^{n} f(\tau) \right) \, d\tau \\ &=& \int_{a}^{t} \! \left( \frac{1}{(n-1)!} \int_{a}^{\tau} (\tau- \upsilon)^{n-1} \, f(\upsilon)\, d\upsilon \right) \, d\tau \\ &=& \frac{1}{(n-1)!} \int_{a}^{t} \! \left( \int_{a}^{\tau} (\tau- \upsilon)^{n-1} \, f(\upsilon)\, d\upsilon \right) \, d\tau \end{eqnarray}$

ここで，積分変数がギリシャ文字だと，中高生には見にくい (読めない)かもしれませんので， $\upsilon$ (ウプシロン)を $x$ ， $\tau$ (タウ)を $y$ に書き換えます．

　 $\begin{eqnarray} \quad \left( つづき \right) &=& \frac{1}{(n-1)!} \int_{a}^{t} \! \left( \int_{a}^{y} (y- x)^{n-1} \, f(x)\, dx \right) \, dy \end{eqnarray}$

そんでもって，二重積分 (累次積分)の積分領域 $D$ は，

　 $D: a \le x \le y, \quad a \le y \le t$

です．累次積分でこの領域を掃くことを考えれば，下の図のようになります．

もう一度最初からやります．途中で累次積分の順番を変えると，

　 $\begin{eqnarray} I^{(n+1)} f(t) &=& I \left( I^{n} f(t) \right) = \int_{a}^{t} \! \left( I^{n} f(\tau) \right) \, d\tau \\ &=& \frac{1}{(n-1)!} \int_{y=a}^{t} \! \left( \int_{x=a}^{y} (y- x)^{n-1} \, f(x)\, dx \right) \, dy \\ &=& \frac{1}{(n-1)!} \int_{x=a}^{t} \! \left( \int_{y=x}^{t} (y- x)^{n-1} \, f(x)\, dy \right) \, dx \\ &=& \frac{1}{(n-1)!} \int_{x=a}^{t} \! \left( \int_{y=x}^{t} (y- x)^{n-1} \, dy \right) f(x) \, dx \\ &=& \frac{1}{(n-1)!} \int_{x=a}^{t} \! \left[ \frac{1}{n}(y- x)^{n} \right]_{y=x}^{t} f(x) \, dx \\ &=& \frac{1}{n (n-1)!} \int_{x=a}^{t} \! (t- x)^{n} f(x) \, dx \\ &=& \frac{1}{n!} \int_{a}^{t} \! (t- x)^{n} f(x) \, dx\\ &=& \frac{1}{n!} \int_{a}^{t} \! (t- \tau)^{n} f(\tau) \, d\tau \end{eqnarray}$

となるので，コーシーの公式は $n+1$ でも成り立ちます．

非整数階積分と非整数ブラウン運動

　反復積分に関するコーシーの公式では， $n$ は整数だけ許されます．しかし，非整数で考えても面白いんじゃないかと考えた人がいます． $(n-1)!$ を非整数にも拡張したものが，ガンマ関数と考えることができるので， $\lambda$ を実数として， $\lambda$ 階積分は，

$\begin{eqnarray} I^{\lambda} f(t) = \frac{1}{\Gamma(\lambda)} \int_{a}^{t} (t- \tau)^{\lambda-1} \, f(\tau)\, d\tau \end{eqnarray}$

でいいんじゃね，と考えたわけです．

　非整数ブラウン運動では，

　 $\begin{eqnarray} B_H(t) &=& \frac{1}{\Gamma(H+1/2)} \int_{-\infty}^{t} (t-s)^{H-1/2} \, dB(s) \end{eqnarray}$

でした．上の $\lambda$ 階積分の式で， $a \to - \infty$ ， $\lambda=H+1/2$ として，さらに， $f(\tau)\, d\tau$ の部分を， $dB(s)$ とすれば，この式になります．ここで， $dB(s)$ は，平均0，標準偏差 $\sqrt{ds}$ の白色ガウスノイズです．