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時系列解析，生体情報学，数学・物理などの解説です．

【非整数ブラウン運動の数理】数値的にサンプルパスを生成

非整数ブラウン運動 確率過程 ブラウン運動 フラクタル

　最近，一番気に入っているアニメは「異世界おじさん」です．ということで，今回は，非整数ブラウン運動を表す数式

　\begin{eqnarray} B_H(t) &=& \frac{1}{\Gamma(H+1/2)} \int_{-\infty}^{t} (t-s)^{H-1/2} \, dB(s) \end{eqnarray}

の意味を理解するために，この積分を離散化して計算してみます．この積分がオリジナルの論文

Mandelbrot, Benoit B., and John W. Van Ness. "Fractional Brownian motions, fractional noises and applications." SIAM review 10.4 (1968): 422-437

の表現と違う，とか文句言われても気にしません．

非整数ブラウン運動のサンプルパスの生成手順

離散化

　積分を部分求積法のように，時間幅 \Delta tで分けたパーツの和で近似すると，

　\begin{eqnarray} B_H(t) &=& \frac{1}{\Gamma(H+1/2)} \int_{-\infty}^{t} (t-s)^{H-1/2} \, dB(s) \\ &\approx& \frac{1}{\Gamma(H+1/2)} \lim_{n \to \infty} \sum_{s = t - n \Delta t}^{t-\Delta t} (t-s)^{H-1/2} \Delta B(s) \end{eqnarray}

のような感じだと思います．無限の過去まで数値的に扱うことはできないので，nはある程度大きな自然数にとることにします．

　ということで，nをできるだけ大きくとることにして，

　\begin{eqnarray} B_H(t) &\approx& \frac{1}{\Gamma(H+1/2)} \sum_{s = t - n \Delta t}^{t-\Delta t} (t-s)^{H-1/2} \Delta B(s) \end{eqnarray}

を計算してみます．

ブラウン運動の増分

　式の中に登場する\Delta B(s)は，ブラウン運動の増分です．時間幅が\Delta tのとき，ブラウン運動の増分\Delta B(s)は，平均0，標準偏差\sqrt{\Delta t}の正規分布に従う白色ノイズです．

　ですので，平均0，標準偏差1の標準正規乱数w(s)を使って，

　 \Delta B(s) = w(s) \sqrt{\Delta t}

としました．上の図の上段右は，このサンプルです．その左は，その累積です．

　この増分に，上の図の中段左の重みをかけたのが，中段右の図です．図の下段左のB_H(100)は，これを全部足して計算しました．

ハースト指数Hの推定

　生成した時系列を検証するために，DMAでスケーリング指数を推定しました．今回は，時系列を積分せずにDMAを使ったので，傾きがHの推定値です．DMAの説明は過去の記事を参考にしてください．

　上の図の下段右にある赤丸のプロットの傾きが，設定したHと一致すればめでたしめでたしということです．

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