【フラクタルの数理】一般化コッホ曲線のフラクタル次元の計算

昨日と今日の２日間，近畿大学の生物理工学部で集中講義をしました．そこで，フラクタルの話をちょっとしたので，今回は一般化コッホ曲線のフラクタル次元についての説明です．

一般化コッホ曲線の生成ルール
一般化コッホ曲線のフラクタル次元
一般化コッホ曲線の長さ

一般化コッホ曲線の生成ルール

　以下の手順で作ります．
1. パラメタ $\theta$ を， $0< \theta < \pi/2$ ( $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ ) の範囲で設定．

　一般化コッホ曲線の生成過程の変形では，下の図のように，各辺の長さはすべて同じにします．

上の図のように，各辺の長さを $x$ ，横幅を $L$ とすれば，

　 $\begin{eqnarray} x + x \cos \theta+ x \cos \theta + x &=& L \\ x &=& \frac{L}{2 + 2 \cos \theta} \end{eqnarray}$

となります．長さ $L$ の線分を，上の図の形に変形することが，一般化コッホ曲線の生成ルールです．

2. 長さ１の線分から変形開始．

3. 両端から $\displaystyle \frac{1}{2 + 2 \cos \theta}$ の長さの線分を残し，中央部分を除去．

　例えば， $\theta=\pi/3 = 60^{\circ}$ のときが，通常のコッホ曲線． $\displaystyle \frac{1}{2 + 2 \cos 60^{\circ}}=\frac{1}{3}$

4. 中央に $\displaystyle \frac{1}{2 + 2 \cos \theta}$ の長さの２辺を加える (各辺の長さはすべて同じ)．

5. 各辺に，上と相似な変形を繰り返し適用．

　 $\theta$ を変化させたときの図形を下にいくつか描きました．ただし， $\theta = 0^{\circ}$ ， $\theta = 90^{\circ}$ は，一般化コッホ曲線ではありません．

一般化コッホ曲線のフラクタル次元

　ここでは，フラクタル次元を次のように決めることにします．

図形のサイズを $1/s$ に縮小したとき、その縮小図形を単位として，元の図形全体を覆うために必要な個数を $N(s)$ とします．このとき、フラクタル次元 $D$ を，次の関係式で定義します．
　 $N(s) = s^{D}$

　この定義を使って，一般化コッホ曲線のフラクタル次元を計算してみます．下の図のように，元の図形を $\displaystyle \frac{1}{2+2 \cos \theta}$ 倍したものを縮小図形とすれば，全体を覆うために必要な個数 $N(s)$ は4になります．

　さらに，元の図形を

　 $\displaystyle \frac{1}{(2+2 \cos \theta)^2}$ 倍， $\displaystyle \frac{1}{(2+2 \cos \theta)^3}$ 倍， $\displaystyle \frac{1}{(2+2 \cos \theta)^4}$ 倍

としていけば， $N(s)$ は，それぞれ，

　 $4^2$ ， $4^3$ ， $4^4$

になります．

　一般に， $n$ を自然数として， $s=(2+2 \cos \theta)^n$ とすれば，元の図形を

　 $\displaystyle \frac{1}{(2+2 \cos \theta)^n}$ 倍

したとき，

　 $N(s) = 4^n$

になりそうです．

　フラクタル次元の定義式から，

　　 $\begin{eqnarray}N(s) &=& s^{D} \\ D &=& \frac{\log N(s)}{\log s} \end{eqnarray}$

となるので， $s=(2+2 \cos \theta)^n$ ， $N(s) = 4^n$ を代入して，

　 $\begin{eqnarray} D &=& \frac{\log N(s)}{\log s} \\ &=& \frac{\log 4^n}{\log (2+2 \cos \theta)^n} \\ &=& \frac{n \log 4}{n \log (2+2 \cos \theta)} \\ &=& \frac{\log 4}{\log (2+2 \cos \theta)}\end{eqnarray}$

となります．

　 $\theta=0^{\circ}$ のとき，

　 $\begin{eqnarray} D &=& \frac{\log 4}{\log (2+2 \cos \theta)} \\ &=& \frac{\log 4}{\log (2+2 \cos 0^{\circ})} \\ &=& \frac{\log 4}{\log 4} \\ &=& 1 \end{eqnarray}$

です．

　また，　 $\theta=90^{\circ}$ のとき，

　 $\begin{eqnarray} D &=& \frac{\log 4}{\log (2+2 \cos \theta)} \\ &=& \frac{\log 4}{\log (2+2 \cos 90^{\circ})} \\ &=& \frac{\log 2^2}{\log 2} \\ &=& \frac{2 \log 2}{\log 2} \\ &=& 2 \end{eqnarray}$