ケィオスの時系列解析メモランダム

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【ラグオペレータで高校数学を解いてみる】3項間漸化式と連立漸化式

最近，高校の数学で出てくる漸化式

　a_{n+2}=p\, a_{n+1}+q\, a_n

や，

　\left\{ \begin{array}{l} a_{n+1} = p\, a_n + q\, b_n \\ b_{n+1} = r\, a_n + s\, b_n \end{array} \right.

の解き方を教える機会がありました．私にとってはかなり昔の記憶ですが，高校の数学では，公式的なパターンに変形したり，行列の形にして対角化するとかありました．ラグオペレータでも解けるので，今回はラグオペレータで解いてみます．

ラグオペレータの基本

　ラグオペレータをLとします．Lを左からかけると，時間が1だけ戻ります．つまり，

　L a_n = a_{n-1}

となります．さらに，

　L^m a_n = a_{n-m}, \quad L^{-1} a_n = a_{n+1}

となります．

３項間漸化式の例題

　高校数学で登場するような問題を考えます．例題として，

　a_{n+2}=3\, a_{n+1}-2\, a_n

で，a_{1}=2, a_{2}=3となるa_nを求めてみます．

　nを2減らして，

　a_{n}=3\, a_{n-1}-2\, a_{n-2}

としてから，ラグオペレータを使えば，

　a_{n}=3 L a_{n} - 2 L^2 a_{n}

です．さらに，変形すると，

　\begin{eqnarray} a_{n} - 3 L a_{n} + 2 L^2 a_{n} &=& 0 \\ \left(1-3L+2L^2 \right) a_{n} &=& 0 \\ \left(1-L\right)\left(1-2L\right) a_{n} &=& 0 \end{eqnarray}

となります．左辺が0になるとすれば，　

　\left\{ \begin{array}{l} \left(1-L\right) a_{n} &=& 0 \\ \left(1-2L\right) a_{n} &=& 0 \end{array} \right.

であれば良いことが分かります．ラグオペレータを使わないで表すと，この式は，

　\left\{ \begin{array}{l} a_{n} - a_{n-1} &=& 0 \\ a_{n} - 2 a_{n-1} &=& 0 \end{array} \right.

ってことです．ここから，

　\left\{ \begin{array}{l} a_{n} &=& a_{n-1} = a_1 = 2 \\ a_{n} &=& 2 a_{n-1} = 2^{n-1} a_1 = 2^{n-1} \cdot 2 = 2^n \end{array} \right.

と求まります．「解が2つ！」とびっくりしないでください．まだ，解ではありません．線形性から (過去の記事参照)，一般解は，2つの解の線形結合になります．つまり，AとBを定数として，一般解は

　a_n=A \cdot 2 + B\cdot 2^{n}

の形になります．

　初期条件 a_{1}=2, a_{2}=3を満たすように，A, Bを求めると，

　 \displaystyle A=\frac{1}{2}, \quad B=\frac{1}{2}

となります．ということで，解は，

　a_n=1+2^{n-1}

です．

連立漸化式の例題

　例題として，

　\left\{ \begin{array}{l} a_{n+1} = 3\, a_n + b_n \\ b_{n+1} = 2\, a_n + 2\, b_n \end{array} \right.

で，a_{1}=1, b_{1}=-1となるa_nを求めてみます．

　nを1減らしてから，ラグオペレータを使えば，

　\left\{ \begin{array}{l} a_{n} = 3 L a_n + L b_n \\ b_{n} = 2 L a_n + 2 L b_n \end{array} \right.

　\left\{ \begin{array}{l} (1-3L)a_{n} - L b_n = 0 \\ 2 L a_n + (2 L -1 ) b_n = 0 \end{array} \right.

となります．連立方程式を解いて，b_nを消すと，

　\begin{eqnarray} \left(4L^2 - 5 L + 1 \right) a_{n} &=& 0 \\ \left(4L - 1 \right)\left(L - 1 \right) a_{n} &=& 0 \end{eqnarray}

となります．左辺が0になるとすれば，　

　\left\{ \begin{array}{l} \left(4 L -1\right) a_{n} &=& 0 \\ \left(L - 1 \right) a_{n} &=& 0 \end{array} \right.

であれば良いことが分かります．ラグオペレータを使わないで表すと，この式は，

　\left\{ \begin{array}{l} a_{n} &=& 4 a_{n-1} \\ a_{n} &=& a_{n-1} \end{array} \right.

ってことです．ここから，

　\left\{ \begin{array}{l} a_{n} &=& 4 a_{n-1} = 4^{n-1} a_1 = 4^{n-1} \\ a_{n} &=& a_{n-1} = a_1 = 1 \end{array} \right.

と求まります．AとBを定数として，一般解は

　a_n=A \cdot 4^{n-1} + B \cdot 1

の形になります．

　初期条件 a_{1}=1, a_{2}=3a_1+b_1 = 3 - 1 = 2を満たすように，A, Bを求めると，

　 \displaystyle A=\frac{1}{3}, \quad B=\frac{2}{3}

となります．ということで，a_{n}は，

　 \displaystyle a_n= \frac{4^{n-1}+2}{3}

です．b_{n}は，

　 \begin{eqnarray} b_n &=& a_{n+1} - 3 a_{n} \\ &=& \frac{4^{n}+2}{3} - 3 \cdot \frac{4^{n-1}+2}{3} \\ &=& \frac{4^{n-1}-4}{3} \end{eqnarray}

まとめ

　ラグオペレータを使って高校数学の漸化式の問題を解いてみました．計算は自信がないので，間違いを見つけたら教えてください．