【Rで確率モデル】確率密度関数と確率分布関数 - ケィオスの時系列解析メモランダム

世の中には正規分布とか，指数分布とか，ワイブル分布とかいろいろな分布に従う現象があります．確率的な現象が従う分布の関数形を特定すると，背後にある生成メカニズムを考えるヒントになるので，分布のことを理解しておくと役に立ちます．今回は，Rで確率分布を描いたりする方法を紹介します．

　「確率分布」という用語はその意味が曖昧なので，ここでは，「確率密度関数」，「確率分布関数」という呼び方を使います．以下では，連続的な区間の値をとる連続確率変数を考えます．

確率密度関数

　正規分布は， $\mu$ ， $\sigma$ をパラメタとして，

　 $\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}$

で与えられます．これは，正規分布の確率密度関数です．

　確率密度関数 $\displaystyle f(x)$ が与えられたとき，確率を求めたいのであれば区間を考える必要があります．例えば， $\displaystyle f(x)$ に従う確率変数 $X$ が， $a < X < b$ の区間の値をとる確率は，

　 $\displaystyle {\rm Prob}\, (a < X < b) = \int_a^b \!\! f(x) \, dx$

で与えられます．

確率分布関数

　確率密度関数を $\displaystyle f(x)$ とすれば，確率分布関数 $\displaystyle F(x)$ は

　 $\displaystyle F(x) = \int_{-\infty}^x \!\! f(\xi) \, d\xi$

となります．この両辺を微分すると，

　 $\displaystyle f(x) = \frac{d F(x)}{dx}$

となります．

Rで確率密度関数はdと確率分布関数はp

　Rで確率密度関数を扱うコマンドの最初の文字はd，確率分布関数を扱うコマンドの最初の文字はpです．その後に分布を示す文字列が付きます．

　例えば，正規分布 (normal distribution)の場合は，normを付けます．そして，

確率密度関数を表すコマンドは，d+norm=dnorm
確率分布関数を表すコマンドは，p+norm=pnorm

です．

　おまけですが，確率分布関数の逆関数を表すコマンドは，q+norm=qnormになります．

　以下は，確率密度関数，確率分布関数，確率分布関数の逆関数を描くRスクリプトの例です．

mu <- 1
sig <- 2
par(mfrow=c(3,1),mar=c(5,5,2,2))
curve(dnorm(x,mu,sig),xlim=c(mu-4*sig,mu+4*sig),ylab="f(x)",main="Probability Density Function",lwd=2,col=4)
curve(pnorm(x,mu,sig),xlim=c(mu-4*sig,mu+4*sig),ylab="F(x)",main="Probability Distribution Function",lwd=2,col=4)
curve(qnorm(x,mu,sig),xlim=c(0,1),ylab=expression(paste(F^{-1},"(x)")),main="Probability Distribution Function",lwd=2,col=4)

これを実行すると，以下の図が描かれます．

最後に

　次回は，他の分布や，疑似乱数の生成について説明します．