【フーリエ級数】周期関数をsinとcosの和で表す - ケィオスの時系列解析メモランダム

我が家にも，ついに5G (第5世代移動通信システム)の波が来ました．我が家は「おうちWi-Fi SoftBank Air」を使っています．今週，この端末のランプが「5G」の受信を教えてくれました．ということで，原稿を依頼されている「フーリエ解析」の図の準備をかねて，今回は「フーリエ級数」のお話です．ここでの目的は，説明に役立つ図を作ることで，フーリエ級数の教科書的な説明ではないので，文章の説明は期待しないでください．

周期関数とは

　フーリエ級数では，周期的に同じ形が現れるグラフを対象にします．つまり，周期を $2L$ とすれば，

　 $f(x) = f(x + 2 L)$

となる関数です．例えば下のグラフのような関数です．

下の図のように，不連続でも大丈夫です．ただし， $|f(x)|$ の面積が有限な場合だけです．

フーリエ級数

　上の例のような周期 $2L$ の関数 $f(x)$ は，

　 $\displaystyle f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{n \pi x}{L} + b_n \sin \frac{n \pi x}{L} \right)$

の形に展開できます．この展開をフーリエ級数展開と言います．細かいことですが，関数 $f(x)$ に不連続な点がある場合は，フーリエ級数展開はその離れた2点の中央の点を通ります．

　係数の $\{a_0, a_1, b_1, a_2, b_2, \cdots\}$ は，

　 $\begin{eqnarray}a_n &=& \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} \! f(x) \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx \\ b_n &=& \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} \! f(x) \sin \frac{n \pi x}{L} \, dx \end{eqnarray}$

で求まります．

三角関数の直交性

　フーリエ級数展開の係数の $\{a_0, a_1, b_1, a_2, b_2, \cdots\}$ を求める計算では，三角関数の直交性を使っています．これは，2つのベクトルが直交するとき内積が0になるってやつと同じことです．

　ここでは，関数 $f(x)$ と $g(x)$ の内積を

　 $\displaystyle \int_{-L}^{L} \! f(x) \, g(x) \, dx$

で定義します． $f(x)$ と $g(x)$ の部分にサインとかコサインの関数を当てはめると，

　 $\begin{eqnarray} \int_{-L}^{L} \! \sin \frac{m \pi x}{L} \, \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx &=& 0 \\ \int_{-L}^{L} \! \sin \frac{m \pi x}{L} \, \sin \frac{n \pi x}{L} \, dx &=& \left\{ \begin{array}{ll} 0 & (m \neq n) \\ L & (m = n) \end{array} \right. \\ \int_{-L}^{L} \! \cos \frac{m \pi x}{L} \, \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx &=& \left\{ \begin{array}{ll} 0 & (m \neq n) \\ L & (m = n) \end{array} \right. \end{eqnarray}$

となります．これらの式で， $0$ になるってことは，ベクトルのときみたいに，お互いが直交しているってことです．

　今回は，上の積分を計算して証明するとか，よくあるお話は飛ばして，グラフを観察してみます．

グラフで三角関数の直交性を観察

　ここでは，例として

　「 $f(x) = \sin \frac{3 \pi x}{L}$ をフーリエ級数で表せ」

という，ふざけた問題を考えます．こんな感じの問題，テストで出す先生います．学生の理解度を見るにはよい問題かもしれません．答えは，もちろん，

　 $f(x) = \sin \frac{3 \pi x}{L}$

です．

　答えは見ただけで分かるけど，あえて，
　
　 $\begin{eqnarray} \int_{-L}^{L} \! \sin \frac{3 \pi x}{L} \, \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx \end{eqnarray}$

と

　 $\begin{eqnarray} \int_{-L}^{L} \! \sin \frac{3 \pi x}{L} \, \sin \frac{n \pi x}{L} \, dx \end{eqnarray}$

について考えてみます．とはいえ，計算しません．グラフを観察します．

　 $n=1$ のとき，下の図のようになります．左側が， $\sin \frac{3 \pi x}{L} \, \cos \frac{n \pi x}{L}$ の説明用で，右側が $\sin \frac{3 \pi x}{L} \, \sin \frac{n \pi x}{L}$ の説明用です．これらの積は，下側の実線のグラフになるので，全面積を求めると，プラス側の面積 (赤)とマイナス側の面積 (青)がちょうど同じになり，積分が0になります．左下のグラフはそんな気がする程度ですが，右下のグラフでは，赤と青が等しいことが見て分かります．

(左上) $f(x) = \sin \frac{3 \pi x}{L}$ (黒実線)と $f(x) = \cos \frac{\pi x}{L}$ (桃破線)のグラフ．(右上) $f(x) = \sin \frac{3 \pi x}{L}$ (黒実線)と $f(x) = \sin \frac{\pi x}{L}$ (水破線)のグラフ．(左下) $f(x) = \sin \frac{3 \pi x}{L}$ と $f(x) = \cos \frac{\pi x}{L}$ の積のグラフ．(右上) $f(x) = \sin \frac{3 \pi x}{L}$ と $f(x) = \sin \frac{\pi x}{L}$ の積のグラフ．

(左上) $f(x) = \sin \frac{3 \pi x}{L}$ (黒実線)と $f(x) = \cos \frac{\pi x}{L}$ (桃破線)のグラフ．(右上) $f(x) = \sin \frac{3 \pi x}{L}$ (黒実線)と $f(x) = \sin \frac{\pi x}{L}$ (水破線)のグラフ．(左下) $f(x) = \sin \frac{3 \pi x}{L}$ と $f(x) = \cos \frac{\pi x}{L}$ の積のグラフ．(右上) $f(x) = \sin \frac{3 \pi x}{L}$ と $f(x) = \sin \frac{\pi x}{L}$ の積のグラフ．

　 $n=2$ のとき，下の図のようになります．左側が， $\sin \frac{3 \pi x}{L} \, \cos \frac{2 \pi x}{L}$ の説明用で，右側が $\sin \frac{3 \pi x}{L} \, \sin \frac{2 \pi x}{L}$ の説明用です．これらの積は，下側の実線のグラフになるので，全面積を求めると，プラス側の面積 (赤)とマイナス側の面積 (青)がちょうど同じになり，積分が0になります．これは，下のグラフをみれば0になっていることが分かります．

(左上) $f(x) = \sin \frac{3 \pi x}{L}$ (黒実線)と $f(x) = \cos \frac{2 \pi x}{L}$ (桃破線)のグラフ．(右上) $f(x) = \sin \frac{3 \pi x}{L}$ (黒実線)と $f(x) = \sin \frac{2 \pi x}{L}$ (水破線)のグラフ．(左下) $f(x) = \sin \frac{3 \pi x}{L}$ と $f(x) = \cos \frac{2 \pi x}{L}$ の積のグラフ．(右上) $f(x) = \sin \frac{3 \pi x}{L}$ と $f(x) = \sin \frac{2 \pi x}{L}$ の積のグラフ．

　 $n=3$ のとき，下の図のようになります．左側が， $\sin \frac{3 \pi x}{L} \, \cos \frac{3 \pi x}{L}$ の説明用で，右側が $\sin \frac{3 \pi x}{L} \, \sin \frac{3 \pi x}{L}$ の説明用です．これらの積は，下側の実線のグラフになります．左下のグラフでは，プラスの面積 (赤)しかないので，0でないことが分かります．右下は，プラスとマイナスがちょうど同じになり，積分が0になることが分かります．