【フーリエ変換】フーリエ級数からフーリエ変換へ - ケィオスの時系列解析メモランダム

今回はフーリエ変換の話です．ここでは横軸を $x$ ではなく， $t$ にします．理由は，時間 $t$ とともに変化する信号 $x(t)$ を考えたいからです．

複素フーリエ級数
フーリエ変換

複素フーリエ級数

　周期 $T$ の周期関数

　 $x(t) = x(t + T)$

　 $\begin{eqnarray}x(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{2 \pi n t}{T} + b_n \sin \frac{2 \pi n t}{T} \right) \end{eqnarray}$

です．ここで，係数の $\{a_0, a_1, b_1, a_2, b_2, \cdots\}$ は，

　 $\begin{eqnarray}a_n &=& \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \! x(t) \cos \frac{2 \pi n t}{T} \, dt \\ b_n &=& \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \! x(t) \sin \frac{2 \pi n t}{T} \, dt \end{eqnarray}$

で与えられます．

　フーリエ級数展開の各成分の周波数 $f_n$ は，

　 $\displaystyle f_n = \frac{n}{T}$

になってます．

　次に， $x(t)$ や， $\{a_0, a_1, b_1, a_2, b_2, \cdots\}$ を複素数に拡張してみます．複素数の世界では，三角関数が指数関数を使って，

　 $\begin{eqnarray} \cos \theta &=& \frac{e^{i \theta} + e^{- i \theta}}{2} \\ \sin \theta &=& \frac{e^{i \theta} - e^{- i \theta}}{2} \end{eqnarray}$

のように与えられます．この関係を使えば，

　 $\begin{eqnarray}x(t) &=& \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{2 \pi n t}{T} + b_n \sin \frac{2 \pi n t}{T} \right) \\ &=& \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \exp \frac{2 \pi i n t}{T} \end{eqnarray}$

と変形できます．ここで，

　 $\begin{eqnarray} c_n &=& \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \! x(t) \exp \left(- \frac{2 \pi i n t}{T} \right) \, dt \end{eqnarray}$

です．

　フーリエ級数展開では，下の図のような周期関数を想定していました．

　現実世界で観測される信号は周期関数ではない場合が多いです．そのような関数も周波数成分に分解して解析するために，下の図のように周期 $T$ を伸ばして，無限の長さにします．

フーリエ変換

　 $x(t)$ が周期間数のとき，上の複素フーリエ級数展開に， $c_n$ を代入すると，

　 $\begin{eqnarray}x(t) &=& \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \exp \frac{2 \pi i n t}{T} \\ &=& \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left\{\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \! x(t) \exp \left(- \frac{2 \pi i n t}{T} \right) \, dt \right\} \exp \frac{2 \pi i n t}{T} \\ \end{eqnarray}$

となってます．時刻 $t$ は連続なのに，周期 $n/T$ は飛び飛びの値 (離散)になってます (理由を考えてみてください)．

　上の式で，周期 $T$ の長さを無限にしてみます．

　周波数を，

　 $\displaystyle f_n = \frac{n}{T}$

とすれば，この周波数は $1/T$ 刻みで変化しています．ということで，

　 $\displaystyle \Delta f = \frac{1}{T}$

と置きます．上の式で， $T \to \infty$ をとってみます．区分求積法で， $\sum$ が，積分になります．つまり，

　 $\begin{eqnarray}x(t) &=& \lim_{T \to \infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left\{\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \! x(t) \exp \left(- \frac{2 \pi i n t}{T} \right) \, dt \right\} \exp \frac{2 \pi i n t}{T} \\ &=& \lim_{T \to \infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left\{\int_{-T/2}^{T/2} \! x(t) \exp \left(- 2 \pi i f_n t \right) \, dt \right\} \exp \left( 2 \pi i f_n t \right) \Delta f \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} \left\{\int_{-\infty}^{\infty} \! x(t) \, e^{- 2 \pi i f t} \, dt \right\} e^{2 \pi i f t} \, df \end{eqnarray}$

となります．ここで，上の式の中括弧の中身を $X(f)$ と置けば，

　　 $\begin{eqnarray}X(f) &=& \int_{-\infty}^{\infty} \! x(t) \, e^{- 2 \pi i f t} \, dt\\ x(t) &=& \int_{-\infty}^{\infty} X(f)\, e^{2 \pi i f t} \, df \end{eqnarray}$

となります．この1番目の式は， $x(t)$ のフーリエ変換，2番目の式がフーリエ逆変換と呼ばれるものです．