【データ解析】相関係数の直感的理解 - ケィオスの時系列解析メモランダム

相関係数の話の続きです．

chaos-kiyono.hatenablog.com

　今回は，相関係数が正になったり，負になったりすることを直感的に理解することが目的です．

相関係数の推定量

　対応する2変量の実現値 $\{(x_i, y_i)\}$ が $N$ 点あったとき，相関係数 $r$ の推定量は，

　 $r = \frac{\displaystyle \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left(x_i-\bar{x} \right)\left(y_i-\bar{y} \right)}{\displaystyle \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left(x_i-\bar{x} \right)^2} \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left(y_i-\bar{y} \right)^2}}$

が一般的です．ここで， $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ は，それぞれ， $\{x_i\}$ ， $\{y_i\}$ の標本平均です．

散布図の構造と相関係数

　上の式で計算した相関係数が， $1$ に近かったり， $0$ に近かったり， $-1$ に近かったりすることと，散布図の関係はどうなってるのでしょうか．

　標本平均 $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ を引くのは，値のばらつきを0まわりにするためなので，以下では簡単化のため， $\{x_i\}$ ， $\{y_i\}$ の標本平均が0の場合を考えます．

　標本平均が0のとき，相関係数の推定量は

　 $r = \frac{\displaystyle \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i \, y_i}{\displaystyle \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i^2} \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N y_i^2}}$

です．この分子

　 $\displaystyle \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i \, y_i$

の値を，散布図の象限毎に分けて考えると，相関係数の正になったり，負になったりすることの直感的な意味が見えてきます．

　下の図で，第1象限と第3象限にある点は，符号が同じなので，

　 $\displaystyle x_i \, y_i > 0$

です．それに対し，第2象限と第4象限にある点は，符号が逆なので，

　 $\displaystyle x_i \, y_i < 0$

です．

　下の図では，一番右の図が，象限毎の $\displaystyle x_i \, y_i$ の和を $N$ で割った値を示しています．

　散布図が，右上がりだと， $\displaystyle x_i \, y_i > 0$ の割合が多いので，相関係数は正になります．特に右上がり45°の直線に近いほど， $\displaystyle x_i \, y_i$ の値が大きくなります．

　逆に散布図が，右下がりだと， $\displaystyle x_i \, y_i < 0$ の割合が多いので，相関係数は負になります．

　相関係数が0に近いときは， $\displaystyle x_i \, y_i > 0$ になる領域と， $\displaystyle x_i \, y_i < 0$ になる領域で，ほぼ対称に点が分布しているということです．

今日のまとめ

　今日，Breaking Down 6を見ました．私は昔，番組を間違えてBreaking Down 3のペーパービューを買ってしまったことがあります．そのときは，せっかくなので何試合か見ましたが，試合の面白さがまったく分かりませんでした．その後，Breaking Downへの出場のためのオーディションをYoutubeで見るようになり，Breaking Downに出場して有名になりたいという人たちの振舞に，面白みを感じるようになりました．殴り合いの喧嘩って良いことではありませんが，外から見ているとドキドキする感じはします．

　私は昔，歌舞伎町の飲み屋で見ず知らずの方々と喧嘩になり，顔を激しく殴られました．今でも顔の左に痺れが残っています．あのとき脳にダメージを受けていなければ，もっと科学者として活躍できたかもしれませんが，今では命があっただけ良かったと思います．若いときのことを思い出すと，なんであんなに愚かだったのかと，恥ずかしくなります．