デルタ関数，単位インパルス関数は，どこに立っている？

ディラック (Dirac)のデルタ関数や，単位インパルス関数（単に，インパルス関数と呼ぶことも）は，分野によって立っている位置が違うので，一つの定義にこだわっていると，計算結果に納得できないことがあります．「デルタ関数と単位インパルス関数は同じモノだよ」と明確に書かれている教科書がありますが，分野によって定義が微妙に違い，その違いを理解することが重要というのが今回のお話です．
　
　以下では，デルタ関数，あるいは，単位インパルス関数を $\delta(t)$ とします． $\delta(t)$ の基本性質

　 $\begin{eqnarray}\int_{-\infty}^{\infty} \! \delta(t) \, dt &=& 1 \\ \int_{-\infty}^{\infty} \! f(t) \, \delta(t) \, dt &=& f(0) \\ \int_{-\infty}^{\infty} \! f(t) \, \delta(t-a) \, dt &=& f(a) \end{eqnarray}$

を満たすことは，以下のどの場合も共通です．

私が最初に出会ったDiracのデルタ関数
工学系の教科書で出会った単位インパルス関数
単位インパルス関数はに立っててほしい (私の願望)
まとめ

私が最初に出会ったDiracのデルタ関数

　私は物理学科出身なので，デルタ関数を以下の図を使って理解していました．

　つまり，上の図のように，時刻 $t=0$ について軸対称な長方形を考えます．幅 $\varepsilon$ ，高さ $\displaystyle \frac{1}{\varepsilon }$ とするので，面積は $1$ です．この長方形について， $\varepsilon \to 0$ の極限をとったものがデルタ関数 $\delta(t)$ です．

　この考えた方だと，

　 $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty} \! \delta(t)\, dt &=& \frac{1}{2} \\ \int_{0}^{\infty} \! f(t)\, \delta(t)\, dt &=& \frac{1}{2}\, f(0) \end{eqnarray}$

になりそうです．実際，いくつかの教科書では，このように書かれています．

　たまに，

　 $\begin{eqnarray} \delta(t)=\left\{\begin{array}{cc} 0 &(t \neq 0) \\ \infty &(t=0) \end{array}\right. \end{eqnarray}$

などと，強調して書いてあることがあります．しかし， $\delta(t)$ は，積分の中に登場して初めて意味をもつのであって，こう書いても何の意味もないし，何の役にも立たないと思います．このことは，どこかの本で読んだのか，どこかの講義で聴いたのか忘れましたが，私は経験からもそう感じるようになりました． $\delta(t)$ は，線ではなく，幅と有限な面積をもつものです．

工学系の教科書で出会った単位インパルス関数

　私が， $\delta(t)$ の定義に違和感を覚えたのは，線形システムのインパルス応答を計算したときです．つまり， $\delta(t)$ のラプラス変換（片側ラプラス変換）の計算です．

　 $\delta(t)$ のラプラス変換では，

　 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} \! \delta(t) \, e^{-st}\, dt$

を計算します．上の図をイメージすると， $t \ge 0$ では，デルタ関数が半分しか含まれないので，結果に $\frac{1}{2}$ が付くよね？と考えてしまいます．

　しかし，一般的な結果は，

　 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} \! \delta(t) \, e^{-st}\, dt = 1$

です．

　何で？と，私はしばらく悩んだ経験があります．私は $\frac{1}{2}$ が正しいと思い込み，さんざん世間に不平不満を言ったあげくに， $\delta(t)$ は，上とは違う図 ( $t=0$ で軸対称ではない)で定義されているということを知りました．つまり，下の図です．

　この図では， $t=0$ の右側 ( $t \ge 0$ )に長方形を置き，左端を固定して右から押しつぶしていいます．「デルタ関数と単位インパルス関数は同じモノ」とか，言わないでほしかったです．個人ごとの都合に合わせて， $\delta(t)$ の定義は変わるよ，と最初から注意しておいてほしかったです．

　結局，この定義だと，

　 $\begin{eqnarray}\int_{0}^{\infty} \! \delta(t) \, dt &=& 1 \\ \int_{0}^{\infty} \! f(t) \, \delta(t) \, dt &=& f(0) \end{eqnarray}$

ということです．つまり，物理よく使う $\delta(t)$ とは違うものです．

単位インパルス関数は $t > 0$ に立っててほしい (私の願望)

　上の単位インパルス関数 $\delta(t)$ の定義を使っても，線形システムのインパルス応答を考えるときに，私には気持ち悪さが残っています．この気持ち悪さを消すために，私としては，下の図の右のように $\delta(t)$ を， $t > 0$ に置いてほしいです (このように $\delta(t)$ を定義している教科書も存在します)．

$\delta(t)$ を， $t = 0$ (左)じゃなくて， $t > 0$ (右)に立てほしい．

　
　 $\delta(t)$ を， $t > 0$ に置くというのは，下の図で言えば，(b)か(c)のパターンです．どの場合も， $\varepsilon \to 0$ としたものが， $\delta(t)$ です．

　(b)か(c)のパターンで $\delta(t)$ を定義すると， $\delta(0)$ の値はどうなるの？と言われそうです．上の図の(b)，(c)では， $\delta(0) = 0$ です．おいおい， $\delta(0)=\infty$ だろうと，口撃されそうです．上の図の(b)，(c)を使った定義では， $\delta(t) = \infty$ となる $t$ の値を明示できません．

　最初の方でも言いましたが， $\delta(0)$ や $\delta(t)$ の値なんて考えても，何の意味もないし，何の役にも立たないと思います．私は数学者ではないので詳しいことは知りませんが， $\delta(t)$ は数学的には関数じゃないそうです (面積をもつ不思議な線)．関数っぽく書くから， $\delta(0)$ の値を覚えて満足する人が出てくるのだと思います．

　 $\delta(t)$ が， $t > 0$ に立っていて，面積をもっているのであれば，明確に

　 $\begin{eqnarray}\int_{0}^{\infty} \! \delta(t) \, dt &=& 1 \\ \int_{0}^{\infty} \! f(t) \, \delta(t) \, dt &=& f(0) \end{eqnarray}$

です．単純バカの私としては，この形で話をしてほしいです．