【インパルス応答】t = 0に閉じ込められた物語（その2） - ケィオスの時系列解析メモランダム

前の記事（以下のリンク）に続き，デルタ関数，あるいは，単位インパルス関数と呼ばれる $\delta(t)$ を使った線形システムのインパルス応答を考えてみます．
chaos-kiyono.hatenablog.com

　今回は， $\delta(t)$ を，以下で定義する $\delta_{\varepsilon}(t)$ について $\varepsilon \to 0$ としたもので定義します．

簡単な線形システム例として，以下の微分方程式の初期値問題を考えます．

　 $\begin{eqnarray} \frac{dy(t)}{dt} + a \, y(t) &=& \delta_{\varepsilon}(t), \quad y(0) = 0 \end{eqnarray}$

前の記事との違いは， $\delta(t)$ ではなく， $\delta_{\varepsilon}(t)$ を入力にしているところです．

解いてみる

　積分因子を使って，

　 $\begin{eqnarray} \frac{dy(t)}{dt} + a \, y(t) &=& \delta_{\varepsilon}(t), \quad y(0) = 0 \end{eqnarray}$

を解いてみます (詳細は前回の記事参照)．

　微分方程式の両辺に積分因子 $e^{a t}$ をかけて微分方程式を解きます．

　 $\begin{eqnarray} e^{a t} \frac{dy(t)}{dt} + a e^{a t} y(t) &=& e^{a t} \delta_{\varepsilon}(t) \\ \frac{d}{dt} \left(e^{a t} y(t) \right) &=& e^{a t} \delta_{\varepsilon}(t) \\ \int_{0}^{t} d \left(e^{a \tau} y(\tau) \right) &=& \int_{0}^{t} e^{a \tau} \delta_{\varepsilon}(\tau) \, d\tau \\ e^{a t} y(t) - e^{0} y(0) &=& \int_{0}^{t} e^{a \tau} \delta_{\varepsilon}(\tau) \, d\tau \\ e^{a t} y(t) &=& \int_{0}^{t} e^{a \tau} \delta_{\varepsilon}(\tau) \, d\tau \\ y(t) &=& e^{-a t} \int_{0}^{t} e^{a \tau} \delta_{\varepsilon}(\tau) \, d\tau \end{eqnarray}$

ここで，右辺の積分に含まれる $\delta_{\varepsilon}(t)$ は，

　 $\delta_{\varepsilon } (t) = \left\{\begin{array}{lc} 0 & (t < 0) \\ \displaystyle \frac{1}{\varepsilon} & (0 \le t \le \varepsilon) \\ 0 & (\varepsilon < t) \end{array}\right.$

なので，微分方程式の解 (システムの応答)は，積分を実行することで，

　 $y(t) = \left\{\begin{array}{lc} 0 & (t < 0) \\ \displaystyle \frac{1}{a \varepsilon} \left(1-e^{-at} \right) & (0 \le t \le \varepsilon) \\ \displaystyle \frac{1}{a \varepsilon} \left(e^{a \varepsilon} - 1 \right) e^{-at} & (\varepsilon < t) \end{array}\right.$

となります．

グラフを見てみる

　解 $y(t)$ をグラフにしたものが下の図です．

$\delta_{\varepsilon}(t)$ に対するシステムの応答 (青実線)．ピンクは $\delta_{\varepsilon}(t)$ ． $\varepsilon$ を0に近づけた場合の振舞の変化．

　上の図から分かるように， $t = 0$ から，入力 $\delta_{\varepsilon}(t)$ が与えられ，その応答 $y(t)$ (青実線)が生じています． $\varepsilon$ を0に近づけて極限をとれば，それが $\delta(t)$ の応答になると考えられます．

解の正しさを検証

　いくつかの方法で，解の正しさを確かめてみます．

t=0 での右側微分係数

　まず， $t=0$ での，微分係数 $\displaystyle \frac{dy(0)}{dt}$ について考えます．微分方程式を変形して，

　 $\begin{eqnarray} \frac{dy(t)}{dt} &=& - a \, y(t) + \delta_{\varepsilon}(t) \end{eqnarray}$

となるので， $t=0$ を代入すれば，

　 $\begin{eqnarray} \frac{dy(0)}{dt} &=& - a \, y(0) + \delta_{\varepsilon}(0) = \frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray}$

となります．ここで注意してほしいことは，上のグラフからわかるように， $t=0$ では，グラフはなめらかではないので微分はできません．ですので，上の $\displaystyle \frac{dy(0)}{dt}$ は，右側微分係数 $\displaystyle \frac{dy(+0)}{dt}$ を意味します．

　次に，解析解から右側微分係数 $\displaystyle \frac{dy(+0)}{dt}$ を計算してみます．

　 $y(t) = \displaystyle \frac{1}{a \varepsilon} \left(1-e^{-at} \right) \quad (0 \le t \le \varepsilon)$

を使って，微分して $t=0$ を代入するだけです．ということで，

　 $\displaystyle \frac{dy(+0)}{dt} = \left. \frac{1}{\varepsilon} e^{-a t} \right|_{t = 0} = \frac{1}{\varepsilon}$

がえられ，微分方程式の結果と一致することが確かめられます．

　さらに， $\varepsilon \to 0$ で， $\displaystyle \frac{dy(+0)}{dt} \to \infty$ となることが分かります．

$\varepsilon \to 0$ の解

　今度は， $\varepsilon \to 0$ として， $\delta(t)$ を入力とした微分方程式

　 $\begin{eqnarray} \frac{dy(t)}{dt} + a \, y(t) &=& \delta(t), \quad y(0) = 0 \end{eqnarray}$

を解く場合と，

　 $\begin{eqnarray} \frac{dy(t)}{dt} + a \, y(t) &=& \delta_{\varepsilon}(t), \quad y(0) = 0 \end{eqnarray}$

を解いてから， $\varepsilon \to 0$ をとる場合を比べてみます．

　微分方程式

　 $\begin{eqnarray} \frac{dy(t)}{dt} + a \, y(t) &=& \delta(t), \quad y(0) = 0 \end{eqnarray}$

は，前回解きました．解は，

　 $\begin{eqnarray} y(t) =\left\{\begin{array}{lc} 0 & (t \le 0) \\ e^{-at} & (t > 0) \end{array}\right. \end{eqnarray}$

です．

　次に，

　 $\begin{eqnarray} \frac{dy(t)}{dt} + a \, y(t) &=& \delta_{\varepsilon}(t), \quad y(0) = 0 \end{eqnarray}$

の解

について， $\varepsilon \to 0$ の極限をとってみます．2番目の式は潰れて無くなるので，3番目の式，

　 $y(t) = \displaystyle \frac{1}{a \varepsilon} \left(e^{a \varepsilon} - 1 \right) e^{-at} \quad (\varepsilon < t)$

の極限を考えます．計算すると

　 $\displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{a \varepsilon} \left(e^{a \varepsilon} - 1 \right) e^{-at} = \frac{1}{a } \frac{e^{a \varepsilon} - e^{a \cdot 0}}{\varepsilon} e^{-at} = e^{-at}$

となるので，

　 $\begin{eqnarray} y(t) =\left\{\begin{array}{lc} 0 & (t \le 0) \\ e^{-at} & (t > 0) \end{array}\right. \end{eqnarray}$

と一致することが分かります．

まとめ

　今回は， $\delta_{\varepsilon}(t)$ を考えることで，インパルスとしてぎゅーっと縮めたときの振舞を見てみました．

　今回は， $t = 0$ での計算のすっきり感から，

　 $\delta_{\varepsilon } (t) = \left\{\begin{array}{lc} 0 & (t < 0) \\ \displaystyle \frac{1}{\varepsilon} & (0 \le t \le \varepsilon) \\ 0 & (\varepsilon < t) \end{array}\right.$

としましたが，

　 $\delta_{\varepsilon } (t) = \left\{\begin{array}{lc} 0 & (t \le 0) \\ \displaystyle \frac{1}{\varepsilon} & (0 < t < \varepsilon) \\ 0 & (\varepsilon \le t) \end{array}\right.$