【道具としての数学】マクローリン展開って何？ - ケィオスの時系列解析メモランダム

　マクローリン展開について簡単に説明します．1年くらいぶりの，ひさびさの更新です．古い記事を，毎日，何百人も参考にしてくれているようで，嬉しい気持ちがあるので，リクエストにこたえて記事を書きます (わかりやすいか自信がありませんが)．

マクローリン展開以前の超基礎：方程式と恒等式
見た目が違うけど，多項式と恒等式の関係になる
マクローリン展開
マクローリン展開の例
収束半径
大学の試験で見かける自明なマクローリン展開の問題

マクローリン展開以前の超基礎：方程式と恒等式

　【注意】方程式と恒等式の違いを知っている優秀な方々は，私の記事ではなく，他の方のマクローリン展開の解説を読んだほうが役に立つと思います．

　変数 $x$ についての方程式は， $x$ に隠れた値を探すための条件式です．例えば，方程式

　 $x^2 - 5 x + 6= 0$

は解くことができて，答えは， $x = 2, 3$ です．この答えが正しいかどうかは， $x$ に値を代入すれば確かめられます．例えば， $x=2$ を代入すれば，

　 $2^2 - 5\times 2 + 6= 4 - 10 + 6 = 0$

になります．

　一方で，変数 $x$ についての恒等式は， $=$ でつながれた左右が，全く同じものになっています．つまり，「自分＝自分」，「 $x = x$ 」，「 $x^2 = x^2$ 」です．左右が全く同じものなので， $x$ にどんな値を代入しても，等しくなります．例えば，恒等式， $x^2 = x^2$ に，何を代入しても正しいし，両辺の微分をしても，両辺の逆数や対数をとっても，等しいままです．なぜなら，左右が全く同じものだからです．さらに，当たり前に感じる説明をつづけると， $a, b, c, \alpha, \beta, \gamma$ を定数とするとき，

　 $a x^2 + b x + c = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$

が成り立つのであれば， $a = \alpha$ ， $b = \beta$ ， $c = \gamma$ です．また，

　 $a \cos x + b \sin x = \alpha \cos x + \beta \sin x$

が成り立つのであれば， $a = \alpha$ ， $b = \beta$ です．

　中高校生にするような説明をしましたが，

「マクローリン展開の式は恒等式」

です．

見た目が違うけど，多項式と恒等式の関係になる

　マクローリン展開の例として， $\cos x$ のマクローリン展開を書いてみると，

　 $\displaystyle \cos x=1-\frac{1}{2 !} x^2+\frac{1}{4 !} x^4- \frac{1}{6 !} x^6+\cdots$

になります．この式が不思議なのは，恒等式は「自分＝自分」なのに，左右で見た目が全然違うことです．左辺は $\cos x$ なのに，右辺は，無限に項が続く多項式 ( $x^n$ でできた式)です．

　具体的な数値を代入して計算する場合，無限個の項を計算できないので，右辺の多項式を途中で打ち切ったりします． $x$ の値が0に近いときは，何乗もすると，高次の項はほぼ0なので，無視しても影響は小さいです．なので，マクローリン展開は，多項式を途中で打ち切って，近似式として使うことができます．

　私は数学者ではないので，数学的に厳密なことは完全に無視して説明すると，マクローリン展開というのは，「式を多項式で表しちゃうということ」です．ちょっと，かっこつけていうと，「 $x=0$ のまわりで多項式展開する」ということです．

　自分でマクローリン展開を計算したいときは，次の関係式を使います．

マクローリン展開

　関数 $f(x)$ のマクローリン展開は，

$\begin{aligned} f(x)&=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^2+\cdots \cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^n+\cdots \cdots \\ &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^n \end{aligned}$

です． $f(x)$ は何度でも微分できる必要があります．

　何で上の関係が成り立つのかは， $f(x)$ が多項式と恒等式になることを仮定すれば導けます．つまり， $a_0, a_1, a_2, \cdots$ を定数として，

　 $\begin{aligned} f(x)&=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots \end{aligned}$

を仮定します．これは，恒等式なので，両辺の $x$ に同じ値を代入しても，両辺を微分しても等しいはずです．

　まず， $x=0$ を代入すれば，

　 $f(0) = a_0$

になるので， $a_0$ の部分には， $f(0)$ が入ることがわかります．

　つぎに， $f(x) = a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots$ の両辺を微分した，

　 $\begin{aligned} \frac{d f(x)}{dx} &= a_1 + 2 a_2 x+ 3 a_3 x^2 + \cdots \end{aligned}$

に， $x=0$ を代入すれば，

　 $\begin{aligned} a_1 &= \frac{d f(0)}{dx} \end{aligned}$

であることがわかります．

　これを繰り返せば，

　 $\displaystyle a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n !}$

であることが導けます．

マクローリン展開の例

　ここでは，実例として，

　 $\displaystyle \frac{1}{1-x}$

をマクロ―リン展開してみます．つまり，上の公式で $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x}$ の場合を考えます．

　これを，繰り返し微分してみると，

　 $\begin{aligned}\frac{d f(x)}{dx} &= \frac{d}{dx} \frac{1}{1-x} = \frac{1}{\left(1-x\right)^2}\\ \frac{d^2 f(x)}{dx^2} &= \frac{d^2}{dx^2} \frac{1}{\left(1-x\right)^2} = \frac{1}{\left(1-x\right)^3}\\ \frac{d^3 f(x)}{dx^3} &= \frac{d^3}{dx^3} \frac{1}{\left(1-x\right)^3} = \frac{1}{\left(1-x\right)^4}\\ \end{aligned}$