【Rでシミュレーション】ブラウン運動のランダムウォークモデル

講義用の参考資料です．今回は，ランダムウォークのサンプルパスを描きます．簡単化のためにx軸上の動きのみを考えます．

　ランダムウォークは，ブラウン運動の確率モデルです．物理学におけるブラウン運動の重要性を知っていますか．今では奇跡の年と呼ばれる1905年に，26歳のアインシュタインは3本のノーベル賞級の論文を発表しました．その中の1本がブラウン運動（分子の大きさの決め方）についてのものです．その他の2本は，光電効果（ノーベル賞受賞）と特殊相対論（ $E=mc^2$ の前段）です．特殊相対論の論文を博士論文として大学に提出したところ，理解されず受理されなかったので，ブラウン運動のネタの方を提出したそうです．

　アインシュタインの論文では，ブラウン運動を観測することで，分子の実在を示す理論が導かれています．当時はまだ分子の実在に否定的な意見がありました．なぜなら，「分子が存在し，その運動が古典力学で記述できる」と仮定してみても，マクロな熱現象を説明できないからです．背理法に基づけば，最初の仮定が間違っています．つまり，「分子」です．しかし，本当に間違っていたのは「分子」の部分ではなく，「古典力学」でした．当時はまだ量子力学が確立していなかったのです．

　後に，ペランが実験的にこの理論を検証して，分子の実在を示したことで1926年にノーベル賞をもらっています．興味があれば，米沢富美子先生の本『ブラウン運動』（共立出版）を読んでみてください．ということで，ランダムウォークは物理学では重要なモデルです．さらに，時系列のフラクタル解析でも重要な基礎となりますので，ランダムウォークのイメージをもつために，各自で数値実験をしてみてください．

　以下のRスクリプトで数値実験を実行できます．確率pで+1，確率q=1-pで-1になります．式で書くときは，確率を ${\rm Pr}$ で表すことにして，

　 ${\rm Pr}( \Delta X_i = +1)=p$
　 ${\rm Pr}( \Delta X_i = -1)=q = 1-p$

であり，ランダムウォークの軌道は，

　 $\displaystyle X_i = \sum_{j=1}^{i} \Delta X_j$

です．今回は確率変数を大文字 $X$ で書きました．実現値を表すときは小文字 $x$ を使います．

グラフの上段は， $\Delta X_i$ の実現値 $\Delta x_i$ で，下段はその累積（積分） $x_i$ です．pの値を0.5から変えてみたり，Nを大きい値にしたりして，ランダムウォークの振る舞いを観察してみてください．

# +1が出る確率
p <- 0.5
# 総ステップ数
N <- 100
###############
i <- 1:N
q <- 1-p
# -1,+1の乱数の生成
tmp <- runif(N)
x <- (tmp > p)*2 - 1
###############
par(mfrow=c(2,1),mar=c(5,5,2,2))
plot(i,x,"p",pch=16,col=2,xaxs="i",las=1,xlab=expression(italic(i)),ylab=expression(paste(Delta, italic(x)[italic(i)])),
  lwd=2,xlim=c(0,N+1),main=paste("p = ",p,"; q = ",q,sep=""))
arrows(i,numeric(N),i,x,col=2,lwd=2,length=0)
abline(h=0,lty=2,col=8)
y <- cumsum(x)
plot(c(0,i),c(0,y),"o",pch=16,col=2,xaxs="i",las=1,xlab=expression(italic(i)),ylab=expression(italic(x)[italic(i)]),
  lwd=2,xlim=c(0,N+1),main=expression(paste(italic(x)[italic(i)], "=",Sigma, Delta, italic(x)[italic(i)])))
abline(h=0,lty=2,col=8)

このスクリプトを実行すると，下のような図が描かれます．