【時系列解析】パワースペクトルで相関のイメージをつかむ

今回は，パワースペクトルから長時間相関のイメージをつかむための説明です．

長時間相関では，長時間の正の相関と，長時間の負の相関があります．ここでは，「相関」という用語を，自己相関関数ではなく，「似た値の出やすさ」くらいの意味で使っていることに注意してください．

時系列が長時間の正の相関をもつ場合，パワースペクトルは，低周波数成分ほど，パワー（振幅）が大きくなります．下の図は，左上が長時間の正の相関をもつ時系列の例，右側がラグ1の散布図です．その下に，低周波数成分2つと高周波数成分2つを描いてあります．周波数成分についても，右側にラグ1の散布図が描いてあります．高周波数成分より，低周波数成分の方が大きいということは，近い値が持続しやすく，正の相関を作る成分が支配的だということです．

非整数ブラウン運動やブラウン運動では，低周波数成分が非常に強いので，似たような値が続いているというこです．

次は，長時間の負の相関の場合です ( $H < 0.5$ の非整数ガウスノイズ， $d < 0$ のARFIMA(0, d, 0)過程が例)．下の図は，左上が長時間の負の相関をもつ時系列の例，右側がラグ1の散布図です．その下に，低周波数成分2つと高周波数成分2つを描いてあります．周波数成分についても，右側にラグ1の散布図が描いてあります．低周波数成分より，高周波数成分の方が大きいということは，正負の値が交互に出現しやすいということです．さらに，正の区間が続いた後に，負の区間が続きやすいというのも，相対的に高周波数の成分が作り出している傾向です．