今回は,Autoregressive fractionally integrated moving average process (ARFIMA)への導入の手前です.ARFIMAの日本語訳は,私が訳せば「自己回帰非整数積分移動平均過程」,インターネット検索でよく見る訳は「自己回帰実数和分移動平均過程」です.MA (moving average: 移動平均)過程も,ARMA (autoregressive moving average: 自己回帰移動平均)も,ARIMA (カタカナ読み「アリマ」)も,これまで全く説明していませんが,長時間相関過程の話へつなげたいので,一気に飛ばして,ARFIMA (アルフィマ,アルフィーマ)の中のARFIMA(0, d, 0)過程への導入の一歩手前の話をします.つまり,ARFIMAは,話に登場しません.
押さえておきたいポイントは,「m階差分・m階積分 (和分)のラグオペレータ (バックシフト演算子)を使った表現」と「m階差分過程・m階積分 (和分)過程のパワースペクトル」です.
基本事項の確認
以前と同じ説明です.知ってる人は飛ばしてください.
1. ラグオペレータを,時系列に作用させると,
となります.つまり,が1つかかるごとに,時間が1戻ります.
2. 時系列のフーリエ変換をとします.時間の世界でのラグオペレータをフーリエ変換すると,になります.つまり,
となります.フーリエ変換すると,がに変わると覚えてください.
3. 時系列のパワースペクトルの推定量は,長さの時系列のフーリエ変換を (ここで,)として,
です.
ラグオペレータとパワースペクトルの話は,以下の記事を参考にしてください.
m階差分・m階積分 (和分)のラグオペレータを使った表現
ここでは,
となることを説明します.
まずは,1階ずつ段を進みます.の1階差分は,
です.の2階差分をと書けば,
です.ラグオペレータを使えば,1階差分は,
2階差分は,
となります.これを繰り返せば,階差分は,
となります.
の2階積分 (和分)をと書けば,
です.ちょっと式を書き換えてラグオペレータを使えば,1階積分 (和分)は,
2階積分 (和分)は,
となります.これを繰り返せば,階積分 (和分)は,
となります.
m階差分過程・m階積分 (和分)過程のパワースペクトル
上でとした時系列を,平均0,分散の白色ノイズとします.ここでは,
となることを説明します.積分過程は,非定常 (時系列が発散)なので,自己共分散 (自己相関)関数のフーリエ変換として定義されるパワースペクトルは存在しません.そんなことは気にせず,有限長時系列から計算した,パワースペクトルもどきをとしていることに注意してください.
上の結果は,基本事項の2と3を使うだけです.説明が簡単すぎで,すいません.
重要なのは,m階差分過程・m階積分 (和分)過程のパワースペクトルの構造です.
下の図のように,パワースペクトルの両対数プロットには直線的な構造が現れます.
階積分 (和分)過程では,,階差分過程では,になっています.解析的には,についてマクローリン展開して,主要項だけ残せば,
あるいは,
となります.
ここから,のべき指数 (スケーリング指数) を,連続的に変えるにはどうすればいいのか?と考えることで,今後,ARFIMA(0, d, 0)の話につなげます.