ケィオスの時系列解析メモランダム

時系列解析，生体情報学，数学・物理などの解説です．

【確率統計】確率変数の和の期待値と分散，積の期待値

統計数学 B4

ここでは，公式として，２つの確率変数 $X$ と $Y$ の和，積，分散の性質をまとめおきます．証明は，たくさんの方が与えてくれているのでそれを参照してください．以下の関係は，今後，ランダムウォークの軌道の性質を議論するために使います．

期待値の表現

　数学系の方々は，確率変数 $X$ の期待値を

　 ${\rm E} [ X]$ ， ${\rm E} (X)$ ， ${\rm E} X$

と表すことが多い気がします． ${\rm E}$ ではなく，特別なフォント $\mathbb{E}$ (TeXで\mathbb{E})を使うこともあります．

　物理系の私は，確率変数 $X$ の期待値を，ブラケットを使って

　 $\left\langle X \right\rangle$

とします．物理の偉大な先輩たちがこの表現を使ってきたので，私も論文を書くときはこの表現を使います．以下でもブラケットで期待値を表します．

期待値の定義

　離散確率変数 $X$ の確率質量関数を

　 $p(x) = {\rm Pr} (X=x)$

とすれば， $X$ の期待値は

　 $\displaystyle \left\langle X \right\rangle = \sum_{i} x_i p(x_i)$

です． $X$ の関数 $g(X)$ の期待値は

　 $\displaystyle \left\langle g(X) \right\rangle = \sum_{i} g(x_i) p(x_i)$

です．
　連続確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ を

　 $f(x)\, dx = {\rm Pr} (x < X < x + dx)$

とすれば， $X$ の期待値は

　 $\displaystyle \left\langle X \right\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x \, f(x) \, dx$

です． $X$ の関数 $g(X)$ の期待値は

　 $\displaystyle \left\langle g(X) \right\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) \, f(x) \, dx$

です．大文字と小文字の使い分けをマスターしてください．

２つの確率変数の和の期待値

　確率変数の和 $X + Y$ の期待値は，条件なしに，

　 $\displaystyle \left\langle X + Y \right\rangle = \left\langle X \right\rangle + \left\langle Y \right\rangle$

です．どんなときも，足し算，引き算は，分けることができます．

つまり，線形なので， $a$ ， $b$ を定数として，

　 $\displaystyle \left\langle a X + b Y \right\rangle = a \left\langle X \right\rangle + b \left\langle Y \right\rangle$

です．

２つの確率変数の積の期待値

　確率変数の積 $XY$ の期待値は，互いに独立なときのみ，

　 $\displaystyle \left\langle XY \right\rangle = \left\langle X \right\rangle \left\langle Y \right\rangle$

です．

２つの確率変数の分散

　確率変数 $X$ の分散を，

　 $V(X) = \left\langle (X - \left\langle X \right\rangle )^2 \right\rangle$

とします．
　確率変数の和 $X + Y$ の分散は，互いに独立なときのみ，

　 $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$

です． $a$ ， $b$ を定数として，

　 $V(a X+b Y) = a^2 V(X) + b^2 V(Y)$

です．

参考になるページ

　証明は面倒なのでしません．以下のホームページがとても参考になるお思います．

www.risalc.info

okasho-engineer.com