【確率過程・時系列解析】自己共分散（自己相関）とパワースペクトルの関係

自己共分散（自己相関）とパワースペクトルの関係についての話です．何言っているかわからない人は，下にまとめた関連記事を先に見てみてください．

ちょっと前に，パワースペクトルは，自己共分散（自己相関）のフーリエ変換だ，という話をしました．ということは，フーリエ変換とその逆変換（逆フーリエ変換）の１対１の熱い友情関係から，

　 $\begin{eqnarray} S(f_k) &=& \sum_{j=-\infty}^{\infty} C(\, j \,)\, e^{- i 2 \pi f_k j} \end{eqnarray}$

であれば，

　 $\begin{eqnarray} C(\, j \,) &=& \frac{1}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty} S(f_k) \, e^{i 2 \pi f_k j} \end{eqnarray}$

みたいな関係が成り立つような気がします．その感覚はもっておいてほしいですが，この式はちょっと間違っています．
　
　離散時系列の場合は，ナイキスト周波数というのがあって，周波数が

　 $\displaystyle -\frac{1}{2} \le f_k \le \frac{1}{2}$

に制限されているので，時系列の長さが偶数のときは，

　 $\begin{eqnarray} C(\, j \,) &=& \frac{1}{N} \sum_{k=-N/2}^{N/2} S(f_k) \, e^{ i 2 \pi f_k j} \end{eqnarray}$

とした方がよさそうです (今回はやりませんが，正しいか自分で導いてみてください)．

　多くの文献には， $S(f_k)$ の周期性を使い，時系列の長さが奇数でも，偶数でも大丈夫な書き方，

　 $\begin{eqnarray} C(\, j \,) &=& \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N} S(f_k) \, e^{i 2 \pi f_k j} \end{eqnarray}$

が載っています (いや，載ってません)．ひとつ前の表現

　 $\begin{eqnarray} C(\, j \,) &=& \frac{1}{N} \sum_{k=-N/2}^{N/2} S(f_k) \, e^{i 2 \pi f_k j} \end{eqnarray}$

で，

　 $\displaystyle \Delta f_k = \frac{1}{N}$

と考えられるので， $\displaystyle f_k = \frac{k}{N}$ ( $[-1/2, 1/2$ ])に注意して， $N \to \infty$ としてみます．つまり，区分求積法で，

$\begin{eqnarray} C(\, j \,) &=&\lim_{N \to \infty}\sum_{k=-N/2}^{N/2} S(f_k) \, e^{ i 2 \pi f_k j} \Delta f_k = \int_{-1/2}^{1/2} S(f) \, e^{i 2 \pi f j}\, df \end{eqnarray}$

となります．この形が，載っている文献が多いと思います．片方が $\Sigma$

$\begin{eqnarray} S(f_k) &=& \sum_{j=-\infty}^{\infty} C(\, j \,)\, e^{- i 2 \pi f_k j} \end{eqnarray}$

で，もう片方が $\int$

$\begin{eqnarray} C(\, j \,) &=&\int_{-1/2}^{1/2} S(f) \, e^{i 2 \pi f j}\, df \end{eqnarray}$

となりバランスが悪いですが， $N \to \infty$ を想定できる数学的な世界では，そうなってます．

　本当は，パワースペクトルを自己共分散（自己相関）に結びつける，もう一つの表現を紹介したかったのですが，眠いので次回にします．最近は，学生の科学的探究心のなさに，残念な気持ちになります．科学の感動は，問題を解けるようになったとか，テストでいい点を取れたとかではないと思います．自然界には，数理的に美しい構造があるのだと気づいたときに，大きな感動があり，私の場合はその感動を求め続けているのだと思います．

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