今回は，離散フーリエ変換でえられるギザギザなパワースペクトルを，滑らかにする「平滑化」についてです．いろいろ書きたいことはありますが，まずは，Rでお世話になることが多い"spectrum"というコマンドのオプション"spans"について説明します．今回の説…

前回に続き「シェパード・トーン」(Shepard tone)のサンプルを作成してみました．今回は，無限に登り続ける音階です．www.youtube.com 作り方の詳細は前回の記事を参照してください (それほど詳しくありませんが)． chaos-kiyono.hatenablog.com 今回のポイ…

最近，音の認知について少しずつ勉強しています．今回は「錯聴」と呼ばれる音のイリュージョン (錯覚)の話です． 有名な錯聴の一つに「シェパード・トーン」(Shepard tone)と呼ばれる，無限に音程が上昇していくように聞こえる音があります．私も自分でその…

自然界で観測される時系列には正規分布に従わないものがたくさんあります．正規分布はガウス分布とも呼ばれるので，正規分布に従わない確率過程は「非ガウス過程」と呼ばれます．時系列であれば，「非ガウス時系列」ですが，私はもっとやわらかい響きが好き…

今回は，1/fノイズ (ピンクノイズ)の自己共分散 (自己相関)関数についての話です．つまり，パワースペクトルが となる時系列の自己共分散 (自己相関)関数は， ということを説明します．解析的に導出しようかと思いましたが，この論文 doi.org の流れをなぞる…

これまでに，ピンクノイズ (1/fゆらぎ)のサンプル時系列の生成方法について，私が知っているものは，ほぼすべて紹介しました (自己相関関数を指定するものだけ説明してません)．今回は，ピンクノイズ (1/fゆらぎ)の生成方法をまとめておきます． Rのパッケー…

今回は，中点変位法 (midpoint displacement algorithm)で，1/fノイズ (ピンクノイズ)のサンプル時系列を生成します．元々，中点変位法は，非整数ブラウン運動のサンプルパス (サンプル時系列)を作る方法ですが，非整数ブラウン運動をわずかにはみ出た領域を…

１次元の非整数ブラウン運動 (fractional Brownian motion)のサンプルパス (時系列)の生成方法の一つ「中点変位法」(midpoint displacement algorithm)について説明します． 中点変位法で作成した非整数ブラウン運動のサンプルパス (H=0.8)この話は，「フラ…

前に，階積分 (和分)過程のパワースペクトルの記事を書いたときに導いた結果，分散の白色ノイズの階差分過程の時系列のパワースペクトルは， 階積分 (和分)過程の時系列のパワースペクトルは， について，数値実験で確認していなかったので，やっておきます…

今回はパワースペクトルが，を定数として， の形になる，差分方程式で記述される確率過程を考えます．前の記事 chaos-kiyono.hatenablog.com で，m階積分 (和分)過程のパワースペクトル（もどき）を計算しました．つまり， 分散の白色ノイズの階積分 (和分)…

Rスクリプトでファイルを読み込みたいとき，そのファイルがあるフォルダのパスの情報が必要です．今回は，そのフォルダのパスを調べる方法の説明です． フォルダのパスをコピーするまで 手順は以下です． 1. エクスプローラで，読み込みたいファイルがあるフ…

心拍変動解析では，パワースペクトルの推定を使った心拍変動指標がよく使われます．HFパワーとか，LFパワーとか呼ばれるやつです．今回は，これら指標について説明しません．心拍変動指標を計算する前に，絶対に理解しておかなければならないことがあるから…

今回は，一般に次自己回帰過程 のパラメタと，の分散 (平均は０とします)がわかったときに，そのパワースペクトルを導きます．というか，パワースペクトルをとりあえず式で書きます． 今回は，パワースペクトルのパラメトリック推定を理解するための準備にな…

今回は実際の時系列データを読み込んでグラフを描いでみます． 濃厚接触者として自宅待機中（現在）の私の心拍変動 (RRI間隔)時系列をサンプルとして使ってください．以下のリンクからダウンロードできます． https://drive.google.com/file/d/1i0VIooI1-IKA…

今回は，ランダムウォーク解析の導入です．detrended fluctuation analysis (DFA)とか，detrending moving average analysis (DMA)とかを使ってる研究者の方が，そこそこいると思います．ランダムウォーク解析は，DFA，DMAの原型となる，素朴な方法です．ラ…

前回は，時系列の積分がパワースペクトルにもたらす変化「ゆらぎを積分すると，ゆらぎになる」を解析的に示しました．chaos-kiyono.hatenablog.com今回は，数値実験です． 非整数ガウスノイズ（左）とその積分（右），下は対応するパワースペクトルのlog-log…

今日の講義資料です．散逸力学系のカオスアトラクター（下図）をＲを使って描画してみます．ただし，ここで説明する例は，ただの3次元プロットです．考える微分方程式はレスラー方程式です．パラメタは，カオスになる代表的な値を使います．方程式については…

本日のセミナーの課題は，２次自己回帰過程 ]のサンプル時系列から自己共分散関数とパワースペクトルを推定することです．]は，平均0，分散の白色ノイズです．とりあえず，，でやってみて，他のパラメタでも調べてみてください．これまでの知識を使えば簡単…

今回は，サンプリング間隔が1ではなく，のときのパワースペクトルについての説明です．スペクトル解析や時系列解析についての教科書では，サンプリング間隔が1の場合のみ扱っているものが多いので，迷うことがあると思います．サンプリング間隔の長さの時系…

今回は，周波数がの領域で1/fゆらぎ（ピンクノイズ）の特性を持つサンプル時系列の生成をやります．詳しい説明はしませんが，1/fゆらぎの生成メカニズムとして，自己共分散関数が指数関数的な減衰を示すサブシステムの和を考えるものが提案されています（下…

今回は，狭い意味での1/fゆらぎを生成します．ピンクノイズとも呼ばれます．なぜピンクかといえば，色とのアナロジーです．可視光の低周波数側の端が赤色なので，低周波側，つまり，白色よりも赤色が強調されていると考えられるので，色で言えば，どちらかと…

今回は，Ｒを使って非整数ガウスノイズ（fractional Gaussian noise）を生成します．しかも，一切，パッケージに頼らずにです．そもそも，非整数ガウスノイズとは何かというと，ポイントは以下です： ガウスノイズなので，分布は正規分布に従います． 自己共…

今回はDetrending moving average algorithm (DMA)をＲでやってみます．DMAの参考文献はこれです（ダウンロードできない人が多いと思います．オープンアクセスの良い論文を見つけられませんでした）： Detrending Moving Average algorithm: a brief review …

今回はDetrended Fluctuation Analysis (DFA)をＲでやってみます．パッケージもあると思いますが，パッケージなしで実現します．まずは，解析する時系列の準備です．これは，longmemoパッケージを使います．分析したい時系列がある場合は，このRスクリプトは…

今回は，自分で自己共分散関数を指定し，その自己共分散関数に従う確率過程のサンプル時系列を生成する方法の説明です．自己共分散とパワースペクトルの関係を理解した上で，Rのfftコマンドを使いこなせれば簡単です．とはいえ，私は理解力がないので，他の…

今回は，Ｒを使った微分方程式の数値計算についての説明というよりも，数値計算結果を3次元プロットする方法の紹介です．私が以下で使っている方法は，ベストではないかもしれませんが，とりあえず，3次元空間内の軌道を立体的に描くことができます．結果は…

今日のセミナーの課題は， 問題 数値的に生成した1次自己回帰過程のサンプル時系列の，自己共分散関数とパワースペクトル（ピリオドグラム）を推定し，理論値と比較せよ．推定は，複数のサンプル時系列を使って平均として求めよ．解答としては，以下のような…

Rの高速フーリエ変換のコマンドfftを使った結果の見方と，その結果を使ったパワースペクトルの計算について説明します．今回は，以前の chaos-kiyono.hatenablog.com のつづき（補足）です．パワースペクトルの推定は奥が深い（いろいろとテクニックがある）…

非整数ブラウン運動は，横と縦方向の拡大倍率を，対とすれば，時系列の統計的性質が拡大前後で同じになる過程です．は，ハースト（Hurst）指数と呼ばれるパラメタで，非整数ブラウン運動はの値で特徴付けられます．数式で理解する前に，非整数ブラウン運動の…

RでFFT（Fast Fourier Transform）を計算するコマンドfftの結果と，離散フーリエ変換の関係，特に，周波数について説明します．実数の時系列を] ()とします．時系列解析では，とすることが多い（C言語やpythonも0から）ですが，ここではRに合わせます．つま…