心拍変動を研究や商品開発で使いたいとき，まず，参照すべき論文があります．それが，以下のリンクにあります．https://www.ahajournals.org/doi/10.1161/01.CIR.93.5.1043 この論文のタイトルは， Heart Rate Variability Standards of Measurement, Physio…

北川 源四郎先生の本「Rによる 時系列モデリング入門」(33 ページ)では， 「ラグが大きくなるとき自己共分散関数が急激に減衰し」という条件が，パワースペクトル の定義を与える部分に書いてあります (以下では，をと書きます)．何で？ この条件「自己共分…

時系列の長期記憶 (long memory)，長時間相関 (long-range correlation)，フラクタル性 (fractality)について整理しておきます． 長期記憶過程 (long memory process) 長期記憶過程は自己共分散関数が， となる確率過程です．何で全部足すの？という疑問がわ…

前回は，自己回帰過程の特性方程式の話をしました． chaos-kiyono.hatenablog.com つまり，次自己回帰過程 について，特性方程式 の解 (根)の絶対値がすべて1より大きければ，自己回帰過程は発散しない． ということを説明しました．今回は，Rをつかって実際…

今回は，自己回帰過程の特性方程式の解と定常性の話です．特性方程式の解が，単位円の内側とか外側とかいう話の説明をします．次自己回帰過程 (以下のは，平均0，分散の白色ノイズです) をラグオペレータを使って書けば， と書けます．これは，以前にパワー…

心拍変動解析では，パワースペクトルの推定を使った心拍変動指標がよく使われます．HFパワーとか，LFパワーとか呼ばれるやつです．今回は，これら指標について説明しません．心拍変動指標を計算する前に，絶対に理解しておかなければならないことがあるから…

今回は，一般に次自己回帰過程 のパラメタと，の分散 (平均は０とします)がわかったときに，そのパワースペクトルを導きます．というか，パワースペクトルをとりあえず式で書きます． 今回は，パワースペクトルのパラメトリック推定を理解するための準備にな…

今回は実際の時系列データを読み込んでグラフを描いでみます． 濃厚接触者として自宅待機中（現在）の私の心拍変動 (RRI間隔)時系列をサンプルとして使ってください．以下のリンクからダウンロードできます． https://drive.google.com/file/d/1i0VIooI1-IKA…

「ランダムウォーク解析」の話の続きです．前回の記事は，これです． chaos-kiyono.hatenablog.com ランダムウォーク解析では，(1) 観測時系列の平均を０にして，(2) 積分して，(3) その増分の2乗平均の平方根をいろんなスケールで計算して，(4) 対のプロッ…

今回も，ランダムウォーク解析についてです．ランダムウォーク解析 (fluctuation analysisと呼ばれることも)は，Natureに出版された論文でも使われています (以下のリンク)． www.nature.com とはいえ，ランダムウォーク解析は，今では実用的な時系列解析法…

ランダムウォーク解析について前回に引き続き考えていきます．今回は自己相関（自己共分散）関数との関係です．前回の記事は以下です．chaos-kiyono.hatenablog.com ゆらぎ関数と自己相関（自己共分散）関数との関係 ここでは．平均0，分散の弱定常過程の時…

ランダムウォーク解析のつづきです．今回は，この解析法について解析的に考えてみます．chaos-kiyono.hatenablog.com 白色ノイズのランダムウォーク解析 白色ノイズを分析すると 白色ノイズは，無相関な時系列です．平均0，分散の白色ノイズの時系列をランダ…

今回は，ランダムウォーク解析の導入です．detrended fluctuation analysis (DFA)とか，detrending moving average analysis (DMA)とかを使ってる研究者の方が，そこそこいると思います．ランダムウォーク解析は，DFA，DMAの原型となる，素朴な方法です．ラ…

ここでは，公式として，２つの確率変数との和，積，分散の性質をまとめおきます．証明は，たくさんの方が与えてくれているのでそれを参照してください．以下の関係は，今後，ランダムウォークの軌道の性質を議論するために使います． 期待値の表現 数学系の…

時系列のフラクタル解析に分類されるdetrended fluctuation analysis (DFA)とか，detrending moving average analysis (DMA)で何をやっているのかを理解するためには，無相関な時系列を積分すると，その積分時系列がどのような特性を持つようになるのかを理…

講義用の参考資料です．今回は，ランダムウォークのサンプルパスを描きます．簡単化のためにx軸上の動きのみを考えます． ランダムウォークのサンプルパス (p = 0.5, q=0.5) ランダムウォークは，ブラウン運動の確率モデルです．物理学におけるブラウン運動…

自己回帰過程や移動平均過程を表現する際に便利な，ラグオペレータ (lag operator)，あるいは，後退オペレータ (backshift operator)と呼ばれるものを紹介します．どちらも名前が違うだけで同じものです．ラグオペレータは，後退オペレータはとすることが多…

私の記事で扱いたいテーマの一つに，1/fノイズ（1/fゆらぎ，ピンクノイズ）があります．私は，1/fゆらぎの科学的意義を伝えたいのですが，世の中では「1/fゆらぎには，リラックス作用がある」と認識されていて，根強い人気があるようです． 私のYoutubeチャ…

時系列を表すときに，とか，とか，とか，]とか，いろいろな書き方があります．今回は，この書き方の慣例について説明します．絶対のルールがあるわけではありません． 連続時間は ，整数の離散時間は下付 か まずは，連続時間と離散時間の使い分けです．時系…

今回から，本格的に２次自己回帰過程のパワースペクトルに入ります．自己回帰過程の理解において，最も重要なポイントの一つは「n次自己回帰過程のパワースペクトルは，1次自己回帰過程と2次自己回帰過程のパワースペクトルの和になっている」ということです…

1/fノイズやホワイトノイズを音として体験する動画資料です．視聴する際は音量を低めに設定してください．1/fノイズ（ピンクノイズ）の音です． www.youtube.comホワイトノイズの音です． www.youtube.comホワイトノイズのハイパス信号です．カットオフ周波…

自己回帰過程のパワースペクトルを求めるテクニックの説明です．自己回帰過程の係数が与えられた状況から，パワースペクトルの式を導くことはとても簡単です．でも，大切なことは理屈を感じることです． 必要な基本知識 長さNの時系列のフーリエ変換とその逆…

弱定常が仮定できる場合のパワースペクトルの定義について，まとめておきます．これまでの私の記事では，時系列のフーリエ変換から計算するものと，時系列の自己共分散関数（自己相関関数）から計算するものを，私のかってな都合にあわせて使い分けていまし…

前回は，時系列の積分がパワースペクトルにもたらす変化「ゆらぎを積分すると，ゆらぎになる」を解析的に示しました．chaos-kiyono.hatenablog.com今回は，数値実験です． 非整数ガウスノイズ（左）とその積分（右），下は対応するパワースペクトルのlog-log…

今回は，「ゆらぎを積分すると，ゆらぎになる」ことの説明です．つまり，時系列のパワースペクトルが，低周波数側で に従うとき，を積分した時系列 ] ()のパワースペクトルが，低周波数側で になることの説明です（下図参照）．逆に，差分をとるとになります…

自己共分散 (autocovariance)， 自己相関 (autocorrelation)， 自己相関係数 (autocorrelation coefficient)， この3つの違いを知ってますか？ここで言いたいことは，これらの定義は分野によって違うので，名前にこだわるな，思い込みは捨てろ，教科書や論文…

私の研究室の学生は，私があまりにしつこく1次自己回帰過程の話をするのでうんざりしているかもしれません．さらに，しつこくやっていきます．1次自己回帰過程 (，は平均0，分散の白色ノイズ)のパワースペクトルは， です．今回は，このパワースペクトルのグ…

今日の講義資料です．散逸力学系のカオスアトラクター（下図）をＲを使って描画してみます．ただし，ここで説明する例は，ただの3次元プロットです．考える微分方程式はレスラー方程式です．パラメタは，カオスになる代表的な値を使います．方程式については…

本日のセミナーの課題は，２次自己回帰過程 ]のサンプル時系列から自己共分散関数とパワースペクトルを推定することです．]は，平均0，分散の白色ノイズです．とりあえず，，でやってみて，他のパラメタでも調べてみてください．これまでの知識を使えば簡単…

時系列解析で私が大切にしていることは，「自分の目で時系列を見る」ことです．数値列ではなく，グラフにして見ます．とはいえ，ただ，時系列全体をグラフに描けば良いのではなく，「時間スケールを変えて時系列を見る」ことが必要です．ここで，「スケール…